Ricevo da Alberto la seguente domanda:
Buongiorno, le volevo chiedere un aiuto per l'esercizio in oggetto, sono delle ore che ci provo ma non mi riesce proprio:
In un triangolo isoscele \(ABC\) l'altezza è i \(6/5\) della base \(BC\) e il raggio del cerchio circoscritto è lungo \(169/12\;cm\). Determina il volume del solido ottenuto da una rotazione completa del triangolo dato attorno al lato \(AB\).
La ringrazio anticipatamente.
In un triangolo isoscele \(ABC\) l'altezza è i \(6/5\) della base \(BC\) e il raggio del cerchio circoscritto è lungo \(169/12\;cm\). Determina il volume del solido ottenuto da una rotazione completa del triangolo dato attorno al lato \(AB\).
La ringrazio anticipatamente.
Cordiali saluti.
Gli rispondo così:
Caro Alberto,
posta \(x=OH\) la distanza in centimetri tra il centro \(O\) della circonferenza circoscritta e la base \(BC\), e \(y=BH\) la semibase, possiamo dire, per ipotesi e per il teorema di Pitagora:
\[\frac{12}{5}y-x=\frac{169}{12}\quad {{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{\left( \frac{169}{12} \right)}^{2}}\]
da cui, risolvendo il sistema, \(y=10\) e \(x=119/12\), cioè \(BC=20\), \(AH=24\) e di conseguenza (Pitagora) \(AC=AB=26\). Ora, è sufficiente osservare che il solido di rotazione è l’unione di due coni aventi entrambi per raggio di base il segmento \(CK\), altezza di \(ABC\) relativa al lato obliquo, e come altezze i segmenti \(BK\) e \(AK\) in cui \(AB\) risulta diviso da \(CK\); il volume \(V\) è quindi equivalente ad un cono avente raggio di base \(CK\) e altezza l’intero lato \(AB=26\). Per trovare \(CK\) è sufficiente trovare l’area \(S\) di \(ABC\) come \(S=AH\cdot BC/2=240\), poi, all’inverso: \(CK=2\cdot S/AB=240/13\). Quidi:
\[V=\frac{26\pi }{3}{{\left( \frac{240}{13} \right)}^{2}}=\frac{38400\pi }{13}\quad .\]
Massimo Bergamini