Ricevo da Michele la seguente domanda:
Gentile professore, può aiutarmi a risolveri questi due problemi?
1) In un trapezio isoscele, di area \(600\;cm^2\), la somma delle basi è \(50\;cm\) e il lato obliquo supera di \(7\;cm\) la base minore. Determinare le lunghezze dei lati del trapezio e verificare che il trapezio è circoscrivibile ad un cerchio; trovare l'area del quadrilatero che si ottiene congiungendo i punti di tangenza dei lati con la circonferenza inscritta.
2) In un trapezio isoscele, inscritto in una circonferenza di raggio \(r\), la somma delle lunghezze di ogni base e della sua rispettiva distanza dal centro della circonferenza è \((11/5)r\); determinare l'area del trapezio.
In attesa, la saluto.
Gli rispondo così:
Caro Michele,
nel primo problema, si ricava subito che l’altezza \(DH\) risulta pari a \(24\;cm\), essendo \(50DH/2=600\). Quindi, detta \(x=DC\) la base minore e \(y=AH\) la semidifferenza tra la base maggiore e quella minore, si ha \(y=25-x\) e \((x+7)^2=(25-x)^2+24^2\), da cui \(DC=x=18\;cm\), \(AB=x+2y=32\;cm\), \(AD=BC=25\;cm\). Il trapezio è circoscrivibile ad una circonferenza in quanto la somma dei lati opposti è uguale: \(AD+BC=AB+CD=50\;cm\). Il quadrilatero \(PQRS\), avendo le diagonali perpendicolari, ha un’area che è data dal loro semiprodotto. La diagonale \(PR\) coincide con l’altezza del trapezio (che è anche diametro della circonferenza inscritta), per cui \(PR=24\;cm\). La diagonale \(SQ\) si può determinare tramite una similitudine: \(AH:SE=AD:SD\), cioè \(7:SE=25:9\), essendo \(SD=DR=9\;cm\), quindi \(SE=63/25\;cm\), da cui \(SQ=2SE+2EF=576/25\;cm\). Pertanto, l’area del quadrilatero risulta:
\[{{A}_{PQRS}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{576}{25}\cdot 24=\frac{6912}{25}c{{m}^{2}}\quad .\]
Riguardo al secondo problema, posta uguale a \(x\) la distanza di una base dal centro, la condizione che tale distanza, sommata alla base, dia \((11/5)r\) si traduce nell’equazione
\[2\sqrt{{{r}^{2}}-{{x}^{2}}}=\frac{11}{5}r-x\to 125{{r}^{2}}-110rx+21{{r}^{2}}=0\]
che ammette due soluzioni, entrambe accettabili: \(x_1=3r/5\), \(x_2=7r/25\): si ottengono così una base maggiore di lunghezza \(48r/25\) e una base minore di lunghezza \(8r/5\). Con esse si possono formare due trapezi: \(ABCD\), considerando le basi da parti opposte del centro, \(A^\prime B^\prime CD\), considerando le basi dalla stessa parte. Nel primo caso, l’altezza è \(ON+OM=22r/25\) e quindi l’area risulta \(968r^2/625\), nel secondo caso l’altezza è \(ON-OM=8r/25\), per cui l’area risulta \(352r^2/625\).
Massimo Bergamini.