Ricevo da Chiara la seguente domanda:
Salve professore, mi trovo davanti a un esercizio che non so come affrontare, mi potrebbe aiutare?
Scrivi l'equazione della circonferenza che ha il centro \(C\) sull'asse \(x\) e passa per i punti \(A(0;2)\) e \(B(-1/2;-3/2)\). Calcola l'ascissa del punto \(D\) di intersezione della circonferenza con il semiasse positivo delle ascisse e, dopo aver trovato le equazioni delle rette tangenti alla circonferenza in \(A\) e \(D\), determina le coordinate del loro punto di intersezione \(P\) e l'area del quadrilatero \(APDC\).
Scrivi l'equazione della circonferenza che ha il centro \(C\) sull'asse \(x\) e passa per i punti \(A(0;2)\) e \(B(-1/2;-3/2)\). Calcola l'ascissa del punto \(D\) di intersezione della circonferenza con il semiasse positivo delle ascisse e, dopo aver trovato le equazioni delle rette tangenti alla circonferenza in \(A\) e \(D\), determina le coordinate del loro punto di intersezione \(P\) e l'area del quadrilatero \(APDC\).
Spero che lei mi possa aiutare.
Le rispondo così:
Cara Chiara,
l’equazione che cerchiamo è del tipo \(x^2+y^2+ax+by+c=0\), e la condizione che il centro della circonferenza appartenga all’asse \(x\) comporta subito che \(b=0\) (essendo \(-b/2\) appunto l’ordinata del centro); l’appartenenza alla circonferenza dei punti \(A\) e \(B\) consente di determinare i coefficienti \(a\) e \(c\):
\[4+c=0\to c=-4\quad \quad \frac{1}{4}+\frac{9}{4}-\frac{a}{2}-4=0\to a=-3\quad .\]
Quindi l’equazione della circonferenza è \(x^2+y^2-3x-4=0\). Posto \(y=0\), si ottengono le ascisse delle intersezioni con l’asse \(x\):
\[{{x}^{2}}-3x-4=0\to {{x}_{1}}=-1,\quad {{x}_{2}}=4\]
cioè \(D(4,0)\). La tangente in \(D\), essendo perpendicolare al raggio \(CD\) risulta parallela all’asse \(y\), per cui è la retta \(x=4\), mentre la tangente in \(A\) si può determinare come quella fra le rette passanti per \(A\) la cui distanza da \(C\) sia pari al raggio della circonferenza, cioè \(5/2\):
\[\frac{\left| \frac{3}{2}m+2 \right|}{\sqrt{1+{{m}^{2}}}}=\frac{5}{2}\to 16{{m}^{2}}-24m+9=0\to {{\left( 4m-3 \right)}^{2}}=0\to m=\frac{3}{4}\]
cioè la retta tangente in \(A\) ha equazione \(y=3x/4+2\), e la sua intersezione con \(x=4\) è nel punto \(P(4;5)\). Il quadrilatero \(APDC\) è l’unione di due triangoli rettangoli congruenti, \(CPD\) e \(CAD\), ciascuno di area \(25/4\), per cui l’area del quadrilatero è \(25/2\).
Massimo Bergamini