Ricevo da Elisa la seguente domanda:
Caro professore, sul vostro Manuale Blu di Matematica ci sono due sistemi parametrici con la circonferenza, che ho risolto ma non mi escono i risultati (n.168 e n.170 pag. 137L):
\[\left\{ \begin{array}{lll} x^2+y^2-6x+8y+5=0 \\ (2k-1)x-y+8k-1=0 \\ 1\leq x\leq 5,\;\;y\geq 0 \end{array}\right.\]
\[\left\{ \begin{array}{lll} x^2+y^2-6x-4y=0 \\ (k+1)x+8ky-6k+2=0 \\ x>0,\;\;y\leq 4 \end{array}\right.\]
Grazie mille, aspetto una vostra risposta.
Le rispondo così:
Cara Elisa,
nel primo caso si tratta di intersecare l’arco di circonferenza \(AB\), con \(A(1,0)\) e \(B(5,0)\), con il fascio proprio di rette di generatrici \(x=-4\) (\(k=\infty\)) e \(y=-x-1\) (\(k=0\)), di centro \(C(-4,3)\). La retta per \(A\) corrisponde a \(k=1/5\) (quindi il fascio “gira” in senso antiorario), quella per \(B\) a \(k=1/3\), e quella tangente in \(T\) (determinabile ad esempio imponendo che la retta del fascio disti \(\sqrt{20}\) (raggio) dal centro \(O(3,-4)\) della circonferenza) a \(k=\left( -10+\sqrt{390} \right)/29\). Si ricava quindi che:
\[\frac{1}{5}\le k<\frac{1}{3}\text{ 1 sol}\text{.}\quad \quad \frac{1}{3}\le k<\frac{-10+\sqrt{390}}{29}\text{ 2 sol}\text{.}\]
Nel secondo esercizio, si tratta di intersecare l’arco di circonferenza \(AB\), con \(A(0,0)\) e \(B(6,4)\), con il fascio proprio di rette di generatrici \(x+8y-6=0\) (\(k=\infty\)) e \(x=-2\) (\(k=0\)), di centro \(C(-2,1)\). La retta per \(A\) corrisponde a \(k=1/3\) (quindi il fascio “gira” in senso antiorario), quella per \(B\) a \(k=-1/4\), e quella tangente in \(T\) (determinabile imponendo che la retta del fascio disti \(\sqrt{13}\) (raggio) dal centro \(O(3,2)\) della circonferenza) a \(k=3/13\). Si ricava quindi che:
\[k\le -\frac{1}{4}\vee k\ge \frac{1}{3}\text{ 1 sol}\text{.}\quad \quad \frac{3}{13}\le k<\frac{1}{3}\text{ 2 sol}\text{.}\]
Massimo Bergamini