Ricevo da Elisa la seguente domanda:
La circonferenza di centro \(O\) inscritta nel triangolo \(ABC\) ottusangolo in \(C\), ha il raggio che misura \(cm\;14\). La bisettrice \(AD\) relativa all'angolo \(A\) è lunga \(cm\;60\) e il punto \(O\) dista \(cm\;42\) da \(A\). Determinare il perimetro del triangolo \(ABC\). Nella piramide retta di vertice \(V\) e base \(ABC\) l’angolo \(AVC\) è retto. Determinare l’area della superficie laterale della piramide considerata e verificare che le sue facce laterali sono inclinate di \(45^\circ\) sul piano di base.
Grazie mille, aspetto una vostra risposta.
Le rispondo così:
Cara Elisa,
per prima cosa, con Pitagora, ricaviamo \(AH=AL=28\sqrt{2}\) e \(DK=8\sqrt{2}\). Ora determiniamo \(LC=CK\) osservando che \(LC=CK=OK\cdot \tan \gamma\), con \(\gamma =C\hat{O}K=\frac{\pi }{2}-\frac{\alpha +\beta }{2}\), cioè:
\[CK=14\tan \gamma =\frac{14}{\tan \left( \frac{\alpha +\beta }{2} \right)}=\frac{14\left( 1+\cos \left( \alpha +\beta \right) \right)}{\sin \left( \alpha +\beta \right)}=\frac{14\left( 1+\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta \right)}{\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta }\]
Poiché si calcolano direttamente
\[\cos \alpha =\frac{1}{3}\quad \sin \alpha =\frac{2\sqrt{2}}{3}\quad \cos \beta =\frac{7}{9}\quad \sin \beta =\frac{4\sqrt{2}}{9}\]
otteniamo \(LC=CK=7\sqrt{2}\). Per concludere, ricaviamo \(HB=KB\) applicando il teorema della bisettrice \(AB:BD=AC:CD\), cioè
\[\frac{28\sqrt{2}+BH}{BH-8\sqrt{2}}=\frac{35\sqrt{2}}{15\sqrt{2}}\to BH=35\sqrt{2}\]
e infine il perimetro \(2p=140\sqrt{2}\;cm\).
Per ricavare la superficie laterale della piramide, occorre determinare l’apotema, ad esempio \(LV\). Sapendo che \(ACV\) è rettangolo, possiamo usare il teorema di Euclide
\[VL=\sqrt{AL\cdot LC}=14\sqrt{2}\]
il che dimostra subito che l’angolo \(\delta =O\hat{L}V\) tra ognuna delle facce laterali e il piano di base è di \(45^\circ\), essendo \(\cos \delta =OL/LV=\sqrt{2}/2\), e consente di ricavare la superficie laterale \(S\) come semiprodotto tra perimetro di base e apotema: \(S=70\sqrt{2}\cdot 14\sqrt{2}=1960\;c{{m}^{2}}\).
Massimo Bergamini