Ricevo da Cosimo la seguente domanda:
Egregio professore, mi potrebbe aiutare a risolvere il seguente problema (n° 22 pag V138 del Manuale blu di Matematica)?
a) Determina il campo di esistenza della funzione
\[f\left( x \right)=\frac{\ln x}{1-2\ln x}\]
e calcola i limiti per \(x\to {{0}^{+}}\) e per \(x\to +\infty\).
b) Dimostra che la funzione è invertibile nel suo campo di esistenza e scrivi l’equazione della funzione inversa. Perché la funzione è invertibile pur non essendo crescente?
c) Considera \(\left| f\left( x \right) \right|\) e verifica che assume lo stesso valore agli estremi dell’intervallo \(\left[ \sqrt[3]{e},e \right]\). Si può affermare che vale il teorema di Rolle nell’intervallo \(\left[ \sqrt[3]{e},e \right]\)?
d) Studia la continuità e la derivabilità di \(\left| f\left( x \right) \right|\).
Grazie mille in anticipo.
Cosimo Sanci
Gli rispondo così:
Caro Cosimo,
il campo di esistenza \(D_f\) è dato dalle condizioni di esistenza di \(\ln x\) e di non nullità del denominatore, cioè \(\ln x \neq 1/2\), per cui \({{D}_{f}}=\left\{ x>0,x\ne \sqrt{e} \right\}\). Poiché si può scrivere che
\[f\left( x \right)=\frac{\ln x}{1-2\ln x}=\frac{1}{\left( \frac{1}{\ln x}-2 \right)}\]
si ricava che, essendo \(\underset{x\to 0+}{\mathop{\lim }}\,\left( 1/\ln x \right)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( 1/\ln x \right)=0\):
\[\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)\underset{x\to +\infty }{\mathop{=\lim }}\,f\left( x \right)=-\frac{1}{2}\quad .\]
Che la funzione sia invertibile lo si deduce dalle seguenti considerazioni: la funzione è monotona crescente in ciascuno degli intervalli in cui è definita, cioè \(\left] 0,\sqrt{e} \right[\) e \(\left] \sqrt{e},+\infty \right[\), poiché la derivata \(f^\prime(x)=1/(1-2\ln x)^2\) è sempre positiva in \(D_f\), e inoltre nel primo di questi si ha \(f(x)>-1/2\), mentre nel secondo si ha \(f(x)<-1/2\), come si può dedurre dalla seguente:
\[\forall x\in \left] 0,\sqrt{e} \right[\to 1-2\ln x>0\Rightarrow \frac{\ln x}{1-2\ln x}>-\frac{1}{2}\leftrightarrow \frac{1}{2\left( 1-2\ln x \right)}>0\]
\[\forall x\in \left] \sqrt{e},+\infty \right[\to 1-2\ln x<0\Rightarrow \frac{\ln x}{1-2\ln x}<-\frac{1}{2}\leftrightarrow \frac{1}{2\left( 1-2\ln x \right)}<0\]
Questo, unito al fatto che la funzione tende a \(+\infty\) per \(x\) che tende a \(\sqrt{e}^-\), a \(-\infty\) per \(x\) che tende a \(\sqrt{e}^+\), significa due cose: la funzione realizza una corrispondenza biunivoca tra \(D_f\) e il codominio \(C_f=\mathbb{R}-\left\{ -1/2 \right\}\), quindi è invertibile, ma nello stesso tempo non è crescente nel complesso di \(D_f\) ma solo separatamente nei due intervalli che costituiscono \(D_f\), in accordo con le implicazioni del teorema di Lagrange. La funzione inversa si ricava risolvendo rispetto ad \(x\) l’equazione
\[y=\frac{\ln x}{1-2\ln x}\to \ln x=y\left( 1-2\ln x \right)\to \ln x=\frac{y}{\left( 2y+1 \right)}\to x={{e}^{\frac{y}{2y+1}}}\]
dove si è fatto uso del fatto che \(y\neq -1/2\); scambiando i nomi delle variabili si ottiene l’espressione della funzione inversa:
\[y={{f}^{-1}}\left( x \right)={{e}^{\frac{x}{2x+1}}}\quad .\]
Facilmente si verifica che in entrambi gli estremi dell’intervallo \(\left[ \sqrt[3]{e},e \right]\) la funzione \(\left| f\left( x \right) \right|\) vale \(1\), ma il teorema di Rolle non è applicabile perché la funzione non è definita in un punto interno a tale intervallo, cioè \(x=\sqrt{e}\). Tale punto è anche un punto in cui \(\left| f\left( x \right) \right|\) presenta un asintoto verticale, quindi non è continua né tantomeno derivabile; anche in \(x=1\) la funzione \(\left| f\left( x \right) \right|\), pur essendo continua, non è derivabile (punto angoloso), come si dimostra facilmente considerando separatamente i limiti destro e sinistro del rapporto incrementale in tale punto.
Massimo Bergamini