Ricevo da Rosy la seguente domanda:
Caro professore mi potrebbe aiutare con il seguente problema (n. 310 pag. v210 del Manuale Blu di Matematica)? Calcola lo spostamento \(x\) compiuto da un corpo di massa \(m\) sottoposto ad una forza di intensità \(F(x)=e^{-x^2}\) che forma un angolo di \(60^\circ\) con lo spostamento, in modo che sia massimo il lavoro compiuto dalla forza.
Non riesco a "instaurare" una relazione tra la \(m\) e la forza…
Grazie mille per la sua gentilezza.
Le rispondo così:
Cara Rosy,
non mi pare proprio che tu ti debba preoccupare della massa \(m\): il lavoro \(L(x)\) dipende solo dalla forza applicata \(\vec{F}\) e dallo spostamento \(\vec{x}\):
\[L\left( x \right)=\vec{F}\cdot \vec{x}=Fx\cos \left( 60{}^\circ \right)=\frac{x{{e}^{-{{x}^{2}}}}}{2}\]
per cui, derivando:
\[L'\left( x \right)=\frac{\left( 1-2{{x}^{2}} \right){{e}^{-{{x}^{2}}}}}{2}=0\leftrightarrow x=\frac{\sqrt{2}}{2}\]
valore che corrisponde ad un massimo relativo per \(L(x)\).
Massimo Bergamini