Ricevo da Marcello la seguente domanda:
Gentile professore,
sarebbe così cortese da aiutarmi a risolvere il seguente problema (n.246 pag.Q140 del Manuale Blu di Matematica)?
Data la semicirconferenza di diametro \(AB=2r\), considera il punto \(P\) appartenente a essa e tale che \(P\hat{B}A=x\); traccia la tangente in \(P\), e sia \(H\) la proiezione del punto \(B\) sulla tangente.
a) Determina la funzione \(f(x)=PH+HB\), traccia il suo grafico ed evidenzia la parte relativa al problema.
b) Discuti nei limiti del problema il numero delle intersezioni dei grafici di \(f(x)\) e di \(y=kr\), con \(k\in \mathbb{R}\).
Mille grazie
Gli rispondo così:
Caro Marcello,
osserviamo innanzitutto che, essendo il triangolo \(ABP\) rettangolo in \(P\), si ha \(PB=2r\cos x\), e inoltre \(P\hat{B}H=x\); per cui:
\[PH=PB\sin x=2r\sin x\cos x\quad BH=PB\cos x=2r{{\cos }^{2}}x\]
quindi:
\[f\left( x \right)=2r\cos x\left( \sin x+\cos x \right)=2r\sqrt{2}\sin \left( x+\frac{\pi }{4} \right)\cos x=r\left( 1+\sqrt{2}\sin \left( 2x+\frac{\pi }{4} \right) \right)\]
dove si è fatto uso delle seguenti identità goniometriche (inversa della formula di addizione e formula di Werner):
\[\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin \left( x+\frac{\pi }{4} \right)\quad \sin \left( x+\frac{\pi }{4} \right)\cos x=\frac{1}{2}\left( \sin \left( 2x+\frac{\pi }{4} \right)+\cos \frac{\pi }{4} \right)\ .\]
La funzione, posto \(r=1\), si rappresenta così:
Dall’analisi del grafico, risulta chiaro che le rette \(y=k\) intersecano il grafico in due punti (eventualmente coincidenti) per \(2\leq k\leq 1+\sqrt{2}\), in un solo punto per \(0\leq k < 2\), nell’intervallo di accettabilità di \(x\), cioè \(0\leq x \leq \pi/2\).
Massimo Bergamini