MyZanichelli - la tua chiave digitale. Registrati per accedere alle risorse online di Zanichelli Editore
 
Entra
Stai consultando l'archivio di Scienze. Visita la nuova Aula di Scienze!
Zanichelli Editore
Aula di Scienze
  • Home Page
  • Menù
  • Novità
Zanichelli - Aula di scienze
  • Home
  • Per saperne di più
  • News
  • I Blog di Aula di Scienze
  • Idee per insegnare
  • L'esperto risponde
    • L'esperto di matematica
    • L'esperto di fisica
    • L'esperto di chimica
  • La Redazione

Archivio per data

  • Giugno 2013
  • Maggio 2013
  • Aprile 2013
  • Marzo 2013
  • Febbraio 2013
  • Gennaio 2013
  • Dicembre 2012
  • Novembre 2012
  • Ottobre 2012
  • Settembre 2012
  • Giugno 2012
  • Maggio 2012
  • Aprile 2012
  • Marzo 2012
  • Febbraio 2012
  • Gennaio 2012
  • Dicembre 2011
  • Novembre 2011
  • Ottobre 2011
  • Settembre 2011
  • Giugno 2011
  • Maggio 2011
  • Aprile 2011
  • Marzo 2011
  • Febbraio 2011
  • Gennaio 2011
  • Dicembre 2010
  • Novembre 2010
  • Ottobre 2010
  • Settembre 2010
  • Luglio 2010
  • Giugno 2010
  • Maggio 2010
  • Aprile 2010
  • Marzo 2010
  • Febbraio 2010
  • Gennaio 2010
  • Dicembre 2009
  • Novembre 2009
  • Ottobre 2009
  • Luglio 2009
  • Giugno 2009
  • Maggio 2009
  • Aprile 2009
  • Marzo 2009
  • Febbraio 2009

I tag più utilizzati dall'esperto

  • analisi infinitesimale
  • derivate
  • limiti
  • goniometria
  • studio di funzione
  • geometria solida
  • trigonometria
  • circonferenza
  • equazioni parametriche
  • parabola

Aggiornamenti

  • RSS L'esperto risponde
IdeeLIM - Idee per insegnare con la Lavagna Interattiva Multimediale
Spazio CLIL - Content and Language Integrated Learning
Home Scuola Aula Scienze L’esperto risponde - Matematica

Un problema di trigonometria parametrico

Un problema di trigonometria parametrico

Disciplina: Matematica Funzioni goniometriche 
di Massimo Bergamini, 28 Marzo 2011
Ricevo da Ivo la seguente domanda:
 
Nel triangolo \(ABC\), rettangolo in \(A\), l'angolo \(A\hat{B}C\) è di \(30^\circ\) e il lato \(AB\) misura \(a\). Sul prolungamento del lato \(AB\), dalla parte di \(A\), si consideri il punto \(O\), centro della circonferenza tangente in \(A\) al lato \(AC\) e in \(H\) al prolungamento del lato \(BC\). Sia \(I\) il punto d'incontro tra il segmento \(OC\) e l'arco \(AH\) di circonferenza. Determinare sull'arco \(AI\), minore di una semicirconferenza, un punto \(P\) tale che, indicati con \(T\) e \(S\) i punti di intersezione dei lati \(AC\) e \(BC\) con la parallela al lato \(AB\) condotta per \(P\), risulti:
\(PT + \sqrt{3}ST=ka\), \(k\in \mathbb{R}\).
Cordiali saluti.
 
Gli rispondo così:
 
Caro Ivo,
osserviamo innanzitutto che il triangolo \(OCA\) è isometrico ad \(ABC\), per cui, detto \(x\) l’angolo \(A\hat{O}P\), si ha \(0\leq x \leq 30^\circ\) e \(OA=a\). Detta \(G\) la proiezione di \(P\) su \(OA\), abbiamo \(PT=GA\), quindi:
              \[PT=a-a\cos x\quad ST=\sqrt{3}CT=\sqrt{3}\left( \frac{\sqrt{3}}{3}a-a\sin x \right)=a-\sqrt{3}a\sin x\]
Pertanto abbiamo l’equazione:
\[\left( 1+\sqrt{3} \right)a-\cos x-3\sin x=k\]
che, posto \(X=\cos x\) e \(Y=\sin x\), porta al seguente sistema:
\[\left\{ \begin{array}{lll} X+3Y-1-\sqrt{3}+k=0 \\ X^2+Y^2=1 \\ \sqrt{3}/2\leq X \leq 1,\;0\leq Y \leq 1/2 \end{array}\right.\]
Imponendo il passaggio della retta del fascio improprio di direzione \(m=-1/3\) per gli estremi \(A=(1,0)\) e \(B(\sqrt{3}/2,1/2)\) dell’arco di circonferenza goniometrica che definisce le condizioni di accettabilità delle soluzioni, si ricava che il problema ammette una soluzione per ogni \(k\) tale che
                                                       \[\frac{\sqrt{3}-1}{2}\le k\le \sqrt{3}\quad .\]
Massimo Bergamini
Tag: equazioni parametriche, goniometria


© 2008 - 2022 Zanichelli Editore SpA - P. I. 03978000374 - C. F. e N. I. Registro delle Imprese 08536570156 - R.E.A. n.329604
Progetto e sviluppo web duDAT Srl