Ricevo da Ivo la seguente domanda:
Nel triangolo \(ABC\), rettangolo in \(A\), l'angolo \(A\hat{B}C\) è di \(30^\circ\) e il lato \(AB\) misura \(a\). Sul prolungamento del lato \(AB\), dalla parte di \(A\), si consideri il punto \(O\), centro della circonferenza tangente in \(A\) al lato \(AC\) e in \(H\) al prolungamento del lato \(BC\). Sia \(I\) il punto d'incontro tra il segmento \(OC\) e l'arco \(AH\) di circonferenza. Determinare sull'arco \(AI\), minore di una semicirconferenza, un punto \(P\) tale che, indicati con \(T\) e \(S\) i punti di intersezione dei lati \(AC\) e \(BC\) con la parallela al lato \(AB\) condotta per \(P\), risulti:
\(PT + \sqrt{3}ST=ka\), \(k\in \mathbb{R}\).
Cordiali saluti.
Gli rispondo così:
Caro Ivo,
osserviamo innanzitutto che il triangolo \(OCA\) è isometrico ad \(ABC\), per cui, detto \(x\) l’angolo \(A\hat{O}P\), si ha \(0\leq x \leq 30^\circ\) e \(OA=a\). Detta \(G\) la proiezione di \(P\) su \(OA\), abbiamo \(PT=GA\), quindi:
\[PT=a-a\cos x\quad ST=\sqrt{3}CT=\sqrt{3}\left( \frac{\sqrt{3}}{3}a-a\sin x \right)=a-\sqrt{3}a\sin x\]
Pertanto abbiamo l’equazione:
\[\left( 1+\sqrt{3} \right)a-\cos x-3\sin x=k\]
che, posto \(X=\cos x\) e \(Y=\sin x\), porta al seguente sistema:
\[\left\{ \begin{array}{lll} X+3Y-1-\sqrt{3}+k=0 \\ X^2+Y^2=1 \\ \sqrt{3}/2\leq X \leq 1,\;0\leq Y \leq 1/2 \end{array}\right.\]
Imponendo il passaggio della retta del fascio improprio di direzione \(m=-1/3\) per gli estremi \(A=(1,0)\) e \(B(\sqrt{3}/2,1/2)\) dell’arco di circonferenza goniometrica che definisce le condizioni di accettabilità delle soluzioni, si ricava che il problema ammette una soluzione per ogni \(k\) tale che
\[\frac{\sqrt{3}-1}{2}\le k\le \sqrt{3}\quad .\]
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Massimo Bergamini