Massimo BergaminiL'ESPERTO DI MATEMATICA
Una funzione invertibile ma non monotòna
Ricevo da Cosimo la seguente domanda:
Egregio professore, mi potrebbe aiutare a risolvere il seguente problema (n° 22 pag V138 del Manuale blu di Matematica)?
a) Determina il campo di esistenza della funzione
\[f\left( x \right)=\frac{\ln x}{1-2\ln x}\]
e calcola i limiti per \(x\to {{0}^{+}}\) e per \(x\to +\infty\).
b) Dimostra che la funzione è invertibile nel suo campo di esistenza e scrivi l’equazione della funzione inversa. Perché la funzione è invertibile pur non essendo crescente?
c) Considera \(\left| f\left( x \right) \right|\) e verifica che assume lo stesso valore agli estremi dell’intervallo \(\left[ \sqrt[3]{e},e \right]\). Si può affermare che vale il teorema di Rolle nell’intervallo \(\left[ \sqrt[3]{e},e \right]\)?
d) Studia la continuità e la derivabilità di \(\left| f\left( x \right) \right|\).
Grazie mille in anticipo.
Cosimo Sanci
Uno studio di funzione
Ricevo da Stefania la seguente domanda:
Buongiorno professore, mi può aiutare a risolvere il seguente studio di funzione?
\[f\left( x \right)={{e}^{-2x}}+{{e}^{-x}}\quad .\]
Grazie e arrivederci
Un problema di geometria piana e solida
Ricevo da Elisa la seguente domanda:
La circonferenza di centro \(O\) inscritta nel triangolo \(ABC\) ottusangolo in \(C\), ha il raggio che misura \(cm\;14\). La bisettrice \(AD\) relativa all'angolo \(A\) è lunga \(cm\;60\) e il punto \(O\) dista \(cm\;42\) da \(A\). Determinare il perimetro del triangolo \(ABC\). Nella piramide retta di vertice \(V\) e base \(ABC\) l’angolo \(AVC\) è retto. Determinare l’area della superficie laterale della piramide considerata e verificare che le sue facce laterali sono inclinate di \(45^\circ\) sul piano di base.
Grazie mille, aspetto una vostra risposta.
Ricevo da Adriano la seguente domanda:
Caro professore, mi può aiutare con il seguente problema (n.315, pag. v211 Manuale Blu di Matematica)?
Considera l’ellisse di equazione \(9x^2+a^2y^2=9a^2\). Dette \(r\) ed \(s\) le tangenti dell’ellisse dal punto \(P(-2;3)\) e \(A\) e \(B\) i loro punti di contatto con l’ellisse, determina \(a\in {{\mathbb{R}}^{+}}\) tale che la lunghezza del segmento \(AB\) sia minima.
Ho provato a trovare l'equazione della tangente con la formula di sdoppiamento… ma non credo che sia la strada giusta. Grazie in anticipo per la sua attenzione
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