Ricevo da Elisa la seguente domanda:
Caro professore, ho i seguenti problemi:
1) Indicato con \(A\) il punto di intersezione della retta \(r\) di equazione \(x-2y+4=0\) con l’asse delle \(y\), sia \(B\) il punto dell’asse \(x\) di ascissa \(3\). Scrivi l’equazione della retta \(s\) che, intersecando \(r\) in \(C\), forma un angolo \(ABC\) di ampiezza \(45^\circ\), trova le coordinate di \(C\) e determina le funzioni goniometriche degli altri angoli del triangolo \(ABC\).
2) Considera l’iperbole di equazione
\[y=\frac{2x-1}{x-3}\quad .\]
Scrivi l’equazione della circonferenza che ha centro nel punto di intersezione degli asintoti e raggio \(\sqrt{41}/2\). Trovati i punti di intersezione delle due curve calcola l’ampiezza dell’angolo \(\gamma\) formato dalle rette ad esse tangenti in uno di tali punti.
Grazie mille per l’aiuto che mi sta dando.
Le rispondo così:
Cara Elisa,
nel primo problema, basta osservare che l’angolo \(\beta\) che la retta \(s\) forma con l’asse \(x\) è il supplementare dell’angolo \(\alpha + 45^\circ\), essendo \(\alpha\) tale che \(\tan\alpha=2/3\), per cui:
\[\tan \beta =-\tan \left( 180{}^\circ -\beta \right)=-\tan \left( \alpha +45{}^\circ \right)=-\frac{2/3+1}{1-2/3}=-5\]
per cui \(s\) è la retta di pendenza \(m=-5\) passante per \(B(3,0)\), cioè \(5x+y-15=0\), che incontra \(r\) nel punto \(C(26/11,35/11)\). Gli altri due angoli del triangolo \(ABC\) sono tali che
\[\tan \beta =\frac{1/2-\left( -2/3 \right)}{1-1/3}=\frac{7}{4}\quad \quad \tan \gamma =\frac{-5-1/2}{1-5/2}=\frac{11}{3}\]
e da queste si possono dedurre le rimanenti funzioni goniometriche di \(\beta\) e \(\gamma\).
Nel secondo problema, una volta trovato il centro \(A(3,2)\) dell’iperbole equilatera, la circonferenza richiesta ha equazione:
\[{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-6x-4y+\frac{11}{4}=0\]
che messa a sistema con quella dell’iperbole porta all’equazione
\[4{{\left( x-3 \right)}^{4}}-41{{\left( x-3 \right)}^{2}}+100=0\to {{\left( x-3 \right)}^{2}}=\frac{25}{4}\vee {{\left( x-3 \right)}^{2}}=4\]
da cui
\[x=\frac{1}{2}\to y=0,\ x=1\to y=-\frac{1}{2},\ x=5\to y=\frac{9}{2},\ x=\frac{11}{2}\to y=4\ .\]
Scelto ad esempio il punto \(C(1/2,0)\), si ricavano le rette tangenti alla circonferenza e all’iperbole in \(C\), ottenendo rispettivamente
\[y=-\frac{5}{4}x+\frac{5}{8}\quad y=-\frac{4}{5}x+\frac{2}{5}\]
per cui l’angolo \(\gamma\) tra le due rette è tale che
\[\tan \gamma =\frac{-4/5+5/4}{1+\left( 4/5 \right)\left( 5/4 \right)}=\frac{9}{40}\to \gamma \approx 12,68{}^\circ \quad .\]
Massimo Bergamini