Ricevo da Marco la seguente domanda:
Caro professore, non trovo soluzione a questo problema:
Given the curve \(C\) with equation
\[y=\frac{{{\left( 3x-4 \right)}^{2}}}{{{x}^{2}}}\]
find the gradient of the tangent to \(C\) at the point on \(C\) where \(x\) is \(-2\).
Find the equation of the normal to \(C\) at the point on \(C\) where \(x\) is \(-2\), giving your answer in the form \(ax+by+c=0\), where \(a\), \(b\) and \(c\) are integers.
Grazie in anticipo.
Gli rispondo così:
Caro Marco,
ho lasciato il testo della tua domanda così come l’hai formulata, cioè in parte in inglese, ma mi sembra più semplice risponderti in italiano! Per ricavare il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione assegnata nel punto \(C\) di ascissa \(x=-2\), e quindi di ordinata \(y(-2)=25\), è sufficiente calcolare la funzione derivata \(y’(x)\) e ricavare \(y’(-2)\):
\[y'=\frac{6\left( 3x-4 \right){{x}^{2}}-2x{{\left( 3x-4 \right)}^{2}}}{{{x}^{4}}}=\frac{8\left( 3x-4 \right)}{{{x}^{3}}}\to y'\left( -2 \right)=10\quad .\]
La retta normale nel punto \(C\) non è altro che la retta perpendicolare alla retta tangente in \(C\), quindi il suo coefficiente angolare è l’opposto del reciproco di quello della retta tangente, cioè è \(-1/10\). L’equazione della retta normale è dunque:
\[y-25=-\frac{1}{10}\left( x+2 \right)\to x+10y-248=0\quad .\]
Massimo Bergamini