Ricevo da Rosanna la seguente domanda:
Salve professore,
ho delle perplessità sullo svolgimento di questo esercizio:
Determinare dominio, eventuali asintoti ed intervalli di monotonia della funzione
\[f(x)=\frac{1}{\arcsin \left( {{x}^{2}}-4x-6 \right)-\frac{\pi }{2}}\]
Inoltre:
i) stabilire se è invertibile;
i) stabilire se è invertibile;
ii) calcolare \(sup_f\) ed \(inf_f\), specificando se sono rispettivamente \(max_f\) e \(min_f\);
iii) calcolare le soluzioni di \(\left | f(x) \right |=\lambda\) al variare di \(\lambda\geq 0\).
In particolare la soluzione di quest'ultimo punto è per me completamente sconosciuta.
La ringrazio in anticipo.
Le rispondo così:
Cara Rosanna,
la condizione che determina il dominio, \(-1\le {{x}^{2}}-4x-6<1\), porta al seguente insieme:
\[{{D}_{f}}=\left] 2-\sqrt{11};-1 \right]\cup \left[ 5;2+\sqrt{11} \right[\quad .\]
La funzione è negativa per ogni \(x\) in \(D_f\), ed è simmetrica rispetto a \(x=2\): questo esclude l’iniettività, e quindi l’invertibilità, della funzione. In \(x=2\pm\sqrt{11}\) il grafico di \(f(x)\) presenta due asintoti verticali (il limite è \(-\infty\)), mentre in \(x=-1\) e in \(x=5\) la funzione vale \(-1/\pi\). La derivata prima:
\[f'(x)=\frac{2\left( 2-x \right)}{{{\left( \arcsin \left( {{x}^{2}}-4x-6 \right)-\pi /2 \right)}^{2}}\sqrt{1-{{\left( {{x}^{2}}-4x-6 \right)}^{2}}}}\]
definita in \({{D}_{f'}}=\left] 2-\sqrt{11};-1 \right[\cup \left] 5;2+\sqrt{11} \right[\), è positiva in \(\left] 2-\sqrt{11};-1 \right[\), negativa in \(\left] 5;2+\sqrt{11} \right[\), che corrispondono quindi agli intervalli di crescenza e decrescenza della funzione. Pertanto \(sup_f=max=-1/\pi\), mentre ovviamente la funzione non è limitata inferiormente.
Le soluzioni dell’equazione \(\left | f(x) \right |=\lambda\) al variare di \(\lambda\geq 0\) altro non sono se non le ascisse delle intersezioni del grafico di \(\left | f(x) \right |\), simmetrico di quello di \(f(x)\) rispetto all’asse \(x\), con un fascio di rette parallele all’asse \(x\), cioè \(y=\lambda\): tali intersezioni, per quanto detto, sono evidentemente due per ogni valore di \(\lambda\) tale che \(\lambda\geq 1/\pi\).
Massimo Bergamini