Ricevo da Sveva la seguente domanda:
Gentile professore, ho difficoltà a svolgere lo studio di questa funzione:
\[f\left( x \right)=\frac{4{{x}^{2}}+16x+33}{4\sqrt{{{x}^{2}}+4x+5}}\]
La ringrazio anticipatamente.
Le rispondo così:
Cara Sveva,
la funzione, definita, continua e positiva in tutto \(\mathbb{R}\) (i due trinomi sono entrambi sempre positivi), è invariante per sostituzione di \(x\) con \(-4-x\), cioè il suo grafico è simmetrico rispetto alla retta \(x=-2\). Agli infiniti la funzione tende a \(+\infty\), come si deduce facilmente dall’ordine degli infiniti a rapporto: poiché tali ordini differiscono di un’unità, si può supporre l’esistenza di due asintoti obliqui, simmetrici anch’essi rispetto a \(x=2\). Infatti:
\[{{m}_{1}}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)}{x}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{4{{x}^{2}}\left( 1+16/x+33/{{x}^{2}} \right)}{4{{x}^{2}}\sqrt{1+4/x+5/{{x}^{2}}}}=1\quad {{m}_{2}}=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)}{x}=-1\]
\[{{q}_{1}}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( f\left( x \right)-x \right)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{4{{x}^{2}}+16x+33-4x\sqrt{{{x}^{2}}+4x+5}}{4\sqrt{{{x}^{2}}+4x+5}}=\quad \]
\[=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{\left( 4{{x}^{2}}+16x+33 \right)}^{2}}-16{{x}^{2}}\left( {{x}^{2}}+4x+5 \right)}{4\sqrt{{{x}^{2}}+4x+5}4\left( 4{{x}^{2}}+16x+33+4x\sqrt{{{x}^{2}}+4x+5} \right)}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{64{{x}^{3}}\left( 1+{{o}_{x\to \infty }} \right)}{32{{x}^{3}}\left( 1+{{o}_{x\to \infty }} \right)}=2\]
\[{{q}_{2}}=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( f\left( x \right)+x \right)=-2\]
Pertanto, gli asintoti sono le rette \(y=\pm x+2\). Mettendo a sistema la funzione con le equazioni degli asintoti si ottiene, in entrambi i casi, l’equazione risolvente \(120x^2+480x+769=0\), priva di soluzioni reali; gli asintoti non hanno intersezioni con il grafico della funzione.
Ricaviamo la derivata prima e seconda:
\[f'\left( x \right)=\frac{\left( x+2 \right)\left( 4{{x}^{2}}+16x+7 \right)}{4\left( {{x}^{2}}+4x+5 \right)\sqrt{{{x}^{2}}+4x+5}}\quad \quad f'\left( x \right)=\frac{3\left( 10{{x}^{2}}+40x+37 \right)}{4{{\left( {{x}^{2}}+4x+5 \right)}^{2}}\sqrt{{{x}^{2}}+4x+5}}\]
Poiché \(f'\left( x \right)=0\) per \(x=-2,\;x=-1/2,\;x=-7/2\), mentre \(f''\left( x \right)=0\) per \(x=-2\pm \sqrt{30}/10\), analizzando l’andamento del segno delle derivate prima e seconda si conclude che il grafico presenta un massimo relativo per \(x=-2\), seguito e preceduto da due punti di flesso e due punti di minimo relativo.
Massimo Bergamini