Ricevo da Elisa la seguente domanda:
Caro professore, mi sono bloccata sullo svolgimento di questo quesito:
Nel triangolo rettangolo \(ABC\) i cateti \(AB\) e \(BC\) misurano rispettivamente \(4\sqrt{3}\) e \(28\sqrt{3}\). Condotto per \(A\) un segmento \(AV\) perpendicolare al piano del triangolo, determinare il volume della piramide \(VAB\) nell’ipotesi che \(A\hat{V}B\) sia uguale a \(B\hat{V}C\).
Grazie mille
Le rispondo così:
Cara Elisa,
prima di tutto si osserva che tutte le facce della piramide \(ABCV\) sono triangoli rettangoli, in particolare la faccia \(VBC\), come conseguenza del teorema delle tre perpendicolari (la retta \(BC\) risulta perpendicolare al piano delle retta \(AB\) e \(VA\)). Detta \(x=VA\) l’altezza della piramide, per l’ipotesi \(A\hat{V}B=B\hat{V}C\), si deve avere:
\[\frac{BC}{VB}=\frac{AB}{VA}\to \frac{28\sqrt{3}}{\sqrt{48+{{x}^{2}}}}=\frac{4\sqrt{3}}{x}\to 7x=\sqrt{48+{{x}^{2}}}\to x=1\]
Pertanto si ricava facilmente che il volume della piramide risulta \(V_{ABCV}=56\).
Massimo Bergamini