Ricevo da Alessandro la seguente domanda:
Caro professore, le chiedevo cortesemente una mano nello svolgere i seguenti esercizi :
A. \[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,{{\left( \frac{\sin x}{x} \right)}^{\frac{\sin x}{x-\sin x}}}\]
B. \[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,{{\left( 2-\cos x \right)}^{\frac{1}{{{x}^{2}}}}}\]
C. Calcolare gli asintoti della seguente funzione : \[f\left( x \right)=\frac{\ln x}{1+x}\;.\]
La ringrazio in anticipo
Alessandro
Gli rispondo così:
Caro Alessandro,
i due limiti, che si presentano nella forma indeterminata \(1^\infty\), si riconducono entrambi alla forma notevole \(\underset{t\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( 1+\frac{a}{t} \right)}^{t}}=e^a\), con opportune sostituzioni o accorgimenti:
\[{{\left( 1-\frac{\sin x}{x} \right)}^{-1}}=t\to \frac{\sin x}{x}=1-\frac{1}{t},\frac{\sin x}{x-\sin x}=t-1\to \,\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,{{\left( \frac{\sin x}{x} \right)}^{\frac{\sin x}{x-\sin x}}}=\underset{t\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( 1-\frac{1}{t} \right)}^{t-1}}=\]
\[=\underset{t\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( 1-\frac{1}{t} \right)}^{t}}\cdot \underset{t\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( 1-\frac{1}{t} \right)}^{-1}}={{e}^{-1}}\quad .\]
\[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,{{\left( {{\left( 1+1-\cos x \right)}^{\frac{1}{1-\cos x}}} \right)}^{\frac{1-\cos x}{{{x}^{2}}}}},\frac{1}{1-\cos x}=t\to \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,{{\left( \underset{t\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( 1+\frac{1}{t} \right)}^{t}} \right)}^{\frac{1-\cos x}{{{x}^{2}}}}}={{e}^{\frac{1}{2}}}=\sqrt{e}.\]
Per quanto riguarda la funzione \(f\left( x \right)=\frac{\ln x}{1+x}\), poiché (usando il teorema di de l’Hopital nel limite all’infinito):
\[\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\ln x}{1+x}=-\infty \quad \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\ln x}{1+x}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1/x}{1}=0\]
possiamo dire che la funzione presenta un asintoto verticale in \(x=0\), cioè l’asse delle \(y\), e un asintoto orizzontale per \(x\) che tende a \(+\infty\), cioè \(y=0\), ovvero l’asse delle \(x\).
Massimo Bergamini