Ricevo da Francesco la seguente domanda:
Caro prof,
proprio non riesco a risolvere il seguente esercizio (n.138 pag.126Q Manuale Blu di Matematica), è da ore che ci provo ma arrivo sempre a un punto morto che non mi fa proseguire:
Sono dati i triangoli \(ABC\) e \(ABD\), appartenenti allo stesso semipiano rispetto al segmento \(AB\), tali che l’angolo \(A\hat{C}B\) è la metà dell’angolo \(A\hat{D}B\), \(CB=2a\), \(AD=a\) e \(C\hat{B}D=\pi/6\). Determina:
\[f\left( x \right)=\frac{PC-PB}{PD}\]
con \(P\) punto di intersezione tra \(AC\) e \(BD\) e \(A\hat{C}B=x\). Indipendentemente dalle condizioni geometriche, determina il campo di esistenza di \(f(x)\). Calcola poi in quali intervalli di \([0,2\pi]\) si ha \(f(x)\geq 0\).
Grazie
Gli rispondo così:
Caro Francesco,
l’analisi della costruzione geometrica ci consente, applicando ripetutamente il teorema dei seni, di ricavare:
\[\frac{PC}{\sin \left( \pi /6 \right)}=\frac{PB}{\sin x}\to PC=\frac{PB}{2\sin x}\]
\[\frac{PD}{\sin \left( \pi /6-x \right)}=\frac{a}{\sin \left( 5\pi /6-x \right)}\quad \frac{PB}{\sin x}=\frac{2a}{\sin \left( 5\pi /6-x \right)}\to \frac{PD}{\sin \left( \pi /6-x \right)}=\frac{PB}{2\sin x}\to \]
\[\to PD=\frac{PB\sin \left( \pi /6-x \right)}{2\sin x}\]
per cui:
\[f\left( x \right)=\frac{PC-PB}{PD}=\left( \frac{PB}{2\sin x}-PB \right):\frac{PB\sin \left( \pi /6-x \right)}{2\sin x}=\frac{1-2\sin x}{\sin \left( \pi /6-x \right)}=\frac{2\left( 1-2\sin x \right)}{\cos x-\sqrt{3}\sin x}\]
Poiché i segmenti \(BD\) e \(AC\) si intersecano solo se l’angolo \(D\hat{A}P\) è maggiore di \(0\), la limitazione geometrica su \(x\) sarebbe \(0\leq x < \pi/6\): indipendentemente da questa, \(f(x)\) esiste purchè il denominatore sia diverso da \(0\), cioè per \(x\neq \pi/6+k\pi\), ed è non negativa per \(0\leq x<\pi/6\vee\pi/6<x\leq 5\pi/6\vee 7\pi/6<x\leq 2\pi\) nell’intervallo \([0,2\pi]\).
Massimo Bergamini