Massimo BergaminiL'ESPERTO DI MATEMATICA
Un’equazione parametrica
Ricevo da Elisa la seguente domanda:
Caro professore, come si imposta questo quesito?
È dato un triangolo equilatero \(ABC\) di lato \(1\). Rispettivamente sui lati \(AB\), \(BC\) e \(CA\) considera tre segmenti \(AD\), \(BE=2AD\) e \(CF=3AD\). Determina la lunghezza \(AD\) in modo tale che il rapporto fra le aree dei triangoli \(ABC\) e \(DEF\) sia uguale a \(k\).
Grazie mille
Una famiglia di funzioni
Ricevo da Adri la seguente domanda:
Caro professore, ho questo problema:
Sia
\[f\left( x \right)=\sqrt{\frac{{{x}^{3}}-1}{kx}}\]
con \(k>0\).
a) Dimostra che al variare di \(k\) tutte le funzioni hanno un punto in comune;
b) determina le sue coordinate e dimostra che è anche il minimo assoluto;
c) dimostra che tutte le funzioni amettono un unico punto di minimo relativo con ascissa \(x=(-1/2)^{1/3}\);
d) determina \(k\) in modo che la curva abbia per asintoto la bisettrice del secondo e quarto quadrante. Verifica che in questo caso anche la bisettrice del primo e terzo quadrante è asintoto della funzione.
La ringrazio per la sua attenzione.
Un problema di trigonometria con discussione
Ricevo da Arturo la seguente domanda:
Gentilissimo professore, non riesco a risolvere il seguente problema, potrebbe cortesemente aiutarmi?
Detto \(M\) il punto medio del segmento \(AB=2a\), in uno dei due semipiani delimitati dalla retta \(AB\) fissare un punto \(P\) tale che \(A\hat{P}M=\alpha\), con che \(0<\alpha<\pi/2\). Posto \(P\hat{A}M=x\), considerare la seguente funzione: \(f(x)=AP^2+PB^2\). Dimostrare che il valore di \(x\) per il quale la \(f\) assume il massimo è indipendente da \(\alpha\). Posto \(\alpha=\pi/4\) e \(a=1\), tracciare il grafico \(\gamma\) di \(f(x)\), mettendo in evidenza l'arco di \(\gamma\) che si riferisce al problema.
Un problema di trigonometria con discussione
Ricevo da Stefano la seguente domanda:
Data la semicirconferenza di centro \(O\) e diametro \(AB=2r\), si consideri la corda \(BC=r\sqrt{3}\) e si prolunghi il diametro \(AB\) di un segmento \(BD=2r\). Si determini quindi sull'arco \(BC\) un punto \(P\) in modo che risulti: \(PA^2+PB^2+PC^2+PD^2=kr^2\).
Determinare quindi il perimetro del quadrilatero \(ACPD\) quando \(P\) si trova nel punto medio dell'arco \(BC\).
Determinare quindi il perimetro del quadrilatero \(ACPD\) quando \(P\) si trova nel punto medio dell'arco \(BC\).
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