Ricevo da Rosy la seguente domanda:
Gentile prof,
ho un altro dubbio con il problema di pagina w140 numero 28…ho risolto le lettere a) e b), ma non riesco a determinarmi l'area richiesta nel punto c)… Mi può aiutare sia nel punto c) che nel punto d)?
La ringrazio in anticipo!
Le rispondo così:
Cara Rosy,
con riferimento alla figura, l’area \(S\) di cui al punto c) può essere vista come differenza fra l’area \(2\) del triangolo \(ABC\) e le aree \(S_1\) e \(S_2\), rispettivamente del segmento circolare definito dalla corda \(AB\), che sottende un angolo al centro di \(90^\circ\), per cui è pari alla differenza tra un quarto dell’area del cerchio di raggio \(\sqrt{2}\) e l’area del triangolo \(ABD\), e del segmento parabolico definito dalla corda \(AC\), la cui area si può determinare o con la formula archimedea o per differenza tra l’area di un rettangolo (di misura \(2\)) e quella del sottografico della parabola tra le ascisse \(0\) e \(2\): \[S=2-{{S}_{1}}-{{S}_{2}}=2-\left( \frac{\pi }{2}-1 \right)-\frac{2}{3}=\frac{7}{3}-\frac{\pi }{2}\quad .\]
Per quanto riguarda il punto d), il volume \(V\) richiesto può essere determinato come differenza tra il volume \(V_1\) di un tronco di cono avente come diametri di base i segmenti \(EE^\prime=10-4\sqrt{2}\) e \(FF^\prime=10+4\sqrt{2}\) e il volume \(V_2\) del solido ottenuto per rotazione del sottografico della parabola intorno all’asse \(x\), tra le ascisse \(-2\sqrt{2}\) e \(2\sqrt{2}\):
\[V={{V}_{1}}-{{V}_{2}}=\frac{\pi }{3}\left( {{\left( 5+2\sqrt{2} \right)}^{2}}\left( 5+2\sqrt{2} \right)-{{\left( 5-2\sqrt{2} \right)}^{2}}\left( 5-2\sqrt{2} \right) \right)-\pi \int\limits_{-2\sqrt{2}}^{2\sqrt{2}}{{{\left( \frac{1}{2}{{x}^{2}}-x+1 \right)}^{2}}dx=}\]
\[=44\sqrt{2}\,\pi -\frac{572\sqrt{2}}{15}\pi =\frac{88\sqrt{2}}{15}\pi \quad .\]
Massimo Bergamini