Ricevo da Carola la seguente domanda:
Caro professore, non riesco a risolvere questo quesito di geometria solida:
Il quadrilatero \(ABCD\) ha il lato \(AB\) doppio di \(AD\) e \(DC=CB\). La diagonale \(DB\) è perpendicolare ad \(AD\), l'angolo \(B\) è retto e \(BC=3cm\). Per il punto medio \(O\) del lato \(AB\) tracciare la perpendicolare al piano del quadrilatero e su di essa prendere un punto \(V\) tale che sia \(VO=12cm\). Calcolare l'area della superficie e il volume della piramide \(VABCD\).
Le rispondo così:
Cara Carola,
le informazioni a disposizione ci consentono di dedurre diverse regolarità nella nostra figura: il triangolo rettangolo \(ABD\) ha angoli acuti di \(30^\circ\) e \(60^\circ\), quindi il triangolo \(DBC\) è equilatero, come pure il triangolo \(AOD\); i triangoli \(VBC\) e \(VDC\) sono rettangoli, come i triangoli \(AOV\) e \(BOV\). Applicando ripetutamente il teorema di Pitagora, si ricavano le misure riportate in figura, da cui si deducono volume \(V\) e superficie totale \(S\):
\[V=\frac{{{S}_{ABCD}}\cdot VO}{3}=9\sqrt{3}\ c{{m}^{3}}\quad S=\frac{141}{4}\sqrt{3}+\frac{3}{4}\sqrt{195}\quad .\]
Massimo Bergamini