Ricevo da Adriano la seguente domanda:
Caro prof,
mi potrebbe gentilmente aiutare con il seguente problema (n.261 pag w122 Manuale Blu di Matematica)?
Rappresenta graficamente la funzione
\[y=\sqrt{\frac{x}{4-x}}\]
e determina l’area della regione finita di piano compresa fra la curva, l’asse \(x\) e la retta tangente alla curva nel suo punto di flesso.
Grazie,attendo una sua paziente risposta.
Gli rispondo così:
Caro Adriano,
dopo aver studiato la funzione, ricavando in particolare la derivata prima e seconda
\[y'=\frac{2}{\sqrt{x{{\left( 4-x \right)}^{3}}}}\quad \quad y''=\frac{4\left( 1-x \right)}{x\left( 4-x \right)\sqrt{x{{\left( 4-x \right)}^{3}}}}\]
posto \(y''=0\), si deduce che il punto di flesso ha ascissa \(x=1\), e poiché \(y'\left( 1 \right)=2\sqrt{3}/9\), la retta tangente in tale punto ha equazione
\[y=\frac{2\sqrt{3}}{9}x+\frac{\sqrt{3}}{9}\quad .\]
La retta tangente incontra l’asse \(x\) in \(x=1/2\) e l’asse \(y\) in \(y=\sqrt{3}/9\), per cui la parte triangolare \(ADC\) della regione che ci interessa ha area \(\sqrt{3}/36\), cui si deve aggiungere il valore dell’integrale
\[\int\limits_{0}^{1}{\left( \frac{2\sqrt{3}}{9}x+\frac{\sqrt{3}}{9}-\sqrt{\frac{x}{4-x}} \right)}\,dx=\frac{\sqrt{3}}{9}\left[ {{x}^{2}}+x \right]_{0}^{1}-\int\limits_{0}^{1}{\left( \sqrt{\frac{x}{4-x}} \right)}\,dx\]
L’ultimo integrale può essere calcolato con la sostituzione \(x=4{{\sin }^{2}}t\), da cui \(dx=8\sin t\cos t\;dt\), per cui:
\[\int\limits_{0}^{1}{\left( \sqrt{\frac{x}{4-x}} \right)}\,dx=8\int\limits_{0}^{\pi /6}{{{\sin }^{2}}t\,dt}=4\left[ t-\sin t\cos t \right]_{0}^{\pi /6}=\frac{2}{3}\pi -\sqrt{3}\]
per cui, complessivamente, l’area della regione richiesta è:
\[\frac{\sqrt{3}}{36}+\frac{2\sqrt{3}}{9}-\frac{2}{3}\pi +\sqrt{3}=\frac{15\sqrt{3}-8\pi }{12}\quad .\]
Massimo Bergamini