Ricevo da Carola la seguente domanda:
Caro professore,
non riesco a costruire la figura proposta dal seguente quesito, in particolare non riesco a capire dove cada l'altezza:
Una piramide ha per base un rettangolo di dimensioni \(50\;cm\) e \(125\;cm\). Due facce laterali sono triangoli isosceli aventi le basi sui lati minori del rettangolo di base e le altezze di \(75\;cm\) e \(100\;cm\). Calcolare la misura dell'altezza, dell'area laterale e del volume.
Una piramide ha per base un rettangolo di dimensioni \(50\;cm\) e \(125\;cm\). Due facce laterali sono triangoli isosceli aventi le basi sui lati minori del rettangolo di base e le altezze di \(75\;cm\) e \(100\;cm\). Calcolare la misura dell'altezza, dell'area laterale e del volume.
La ringrazio in anticipo.
Le rispondo così:
Cara Carola,
con riferimento alla figura, posto \(FO=x\) e \(GO=y\), essendo \(FO+OG=FG=125\) ed essendo rettangoli i triangoli \(GOV\) e \(FOV\), si deve avere \(x+y=125\) e \(75^2-x^2=100^2-y^2\); risolto il sistema, si ottiene \(x=45\) e \(y=80\), e il teorema di Pitagora ci fornisce facilmente l’altezza \(VO=60\;cm\). Poiché il triangolo isoscele \(VHK\) contenente l’altezza \(VO\) e avente per lati obliqui gli apotemi delle facce laterali \(VH=VK\) ha la semibase \(HO=25\), si ha, sempre con Pitagora: \(VH=VK=5\sqrt{119}\). I dati consentono ora facilmente di ricavare volume \(V\) e area laterale \(S\) della piramide:
\[V=125000\,c{{m}^{3}}\quad \quad S=625\left( 7+\sqrt{119} \right)\,c{{m}^{2}}\quad .\]
Massimo Bergamini