Ricevo da Marta la seguente domanda:
Nel triangolo rettangolo \(ABC\), con angolo retto in \(A\), si indichi con \(AH\) l'altezza relativa all'ipotenusa e si considerino le bisettrici interne degli angoli \(B\hat{A}H\) e \(H\hat{A}C\) che incontrano rispettivamente l'ipotenusa \(BC\) nei punti \(D\) ed \(E\). Si domostri che il triangolo \(ABE\) è isoscele sulla base \(AE\) e che il triangolo \(ACD\) è isoscele sulla base \(AD\) e si verifichi l'uguaglianza \(AB+AC=BC+DE\).
Le rispondo così:
Cara Marta,
in relazione alla figura, detto \(2\alpha\) l’angolo \(B\hat{A}H=A\hat{C}B\), si ha, per il teorema dell’angolo esterno, \(A\hat{D}H=B\hat{A}D+A\hat{B}D= \pi/2-\alpha\). D’altra parte, \(D\hat{A}C=D\hat{A}H+H\hat{A}C=\alpha+\pi/2-2\alpha=\pi/2-\alpha\), cioè \(A\hat{D}C=D\hat{A}C\), e quindi \(ADC\) è isoscele. In modo analogo, \(B\hat{E}A=E\hat{A}C+A\hat{C}E=\pi/4+\alpha\), e \(B\hat{A}E=B\hat{A}H+H\hat{A}E=2\alpha+\pi/4-\alpha= \pi/4+\alpha=B\hat{E}A\): anche \(BEA\) è isoscele. Ne consegue \(AB=BE\), \(AC=CD\), per cui:
\[AB+AC=BE+CD=\left( BD+DE \right)+\left( DE+EC \right)=\left( BD+DE+EC \right)+DE=BC+DE\]
come volevasi dimostrare.
Massimo Bergamini