Ricevo da Antonella la seguente domanda:
Salve, stavo svolgendo una prova di matematica e mi sono bloccata nel seguente quesito:
Qual è l'equazione della circonferenza passante per il punto \((-4,-3)\) e tangente ai lati della striscia \(\sigma:|x-y|\leq \sqrt{2}\)?
La ringrazio anticipatamente.
Le rispondo così:
Cara Antonella,
la regione \(\sigma\) può essere esplicitata nei termini del seguente sistema di disequazioni:
\[\left\{ \begin{array}{ll} y\geq x-\sqrt{2} \\ y\leq x+\sqrt{2} \end{array}\right.\;\;.\]
I punti del piano che vi appartengono sono quelli “al di sotto” della retta \( y= x+\sqrt{2}\) e “al di sopra” della retta \(y= x-\sqrt{2}\): una circonferenza che sia tangente ad entrambe le rette deve avere il centro sulla retta che rappresenta l’asse di simmetria della striscia \(\sigma\), cioè \(y=x\), e il raggio deve essere pari alla semidistanza tra le rette stesse, cioè deve valere \(1\). Queste due condizioni consentono di avere un’equazione della circonferenza di questo tipo:
\[{{\left( x-k \right)}^{2}}+{{\left( y-k \right)}^{2}}=1\]
Imponendo il passaggio per il punto \((-4,-3)\) si ottiene la seguente equazione per \(k\):
\[{{\left( -4-k \right)}^{2}}+{{\left( -3-k \right)}^{2}}=1\Rightarrow {{k}^{2}}+7k+12=0\Rightarrow {{k}_{1}}=-3,\ {{k}_{2}}=-4\]
Vi sono quindi due circonferenze che soddisfano la condizione richiesta, e le loro equazioni sono:
\[{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+6x+6y+17=0\quad \quad {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+8x+8y+31=0\quad .\]
Massimo Bergamini