Massimo BergaminiL'ESPERTO DI MATEMATICA
Integrali e principio di Cavalieri
Ricevo da Luca la seguente domanda:
Caro professore,
ho un dubbio su una tipologia di quesiti che spesso capitano in uno dei problemi della seconda prova (o anche nei quesiti)… Per esempio:
1) (corso di ordinamento 2007- quesito 1) La regione \(R\) delimitata dal grafico \(y=2\sqrt{x}\), dall’asse \(x\) e dalla retta \(x=1\) è la base di un solido \(S\) le cui sezioni, ottenute tagliando \(S\) con piani perpendicolari all’asse \(x\), sono tutte triangoli equilateri. Si calcoli il volume di \(S\).
Oppure
2) (corso sperimentale PNI 2007 – quesito 2) La regione del piano racchiusa tra il grafico della funzione \(y=\ln x\) e l’asse \(x\), con \(1\leq x \leq e\), è la base di un solido \(S\) le cui sezioni, ottenute tagliando \(S\) con piani perpendicolari all’asse \(x\), sono tutte rettangoli aventi l’altezza tripla della base. Si calcoli il volume di \(S\) e se ne dia un valore approssimato a meno di \(10^{-2}\).
Come faccio a risolvere quesiti di questo genere? Nel corso dell'anno non mi sembra di aver mai fatto esercizi di questo tipo…Il mio problema sta nel fatto che non riesco a individuare le dimensioni della figura di cui devo calcolare il volume…
Grazie mille!
Un valor medio integrale
Ricevo da Maria la seguente domanda:
Caro professore,
non riesco a svolgere questo quesito (si tratta del quesito n.5 della prova di ordinamento suppletiva del 2010):
Trovare il valore medio della funzione
\[f\left( x \right)=\frac{{{e}^{x}}\left( x-1 \right)}{{{x}^{2}}}\]
nell'intervallo \(1\leq x\leq 2\). Ho provato diverse volte l'integrazione per parti, ma non giungo mai ad una fine…mi potrebbe spiegare i passaggi?
La ringrazio
Un problema di geometria solida
Ricevo da Carola la seguente domanda:
Caro professore,
non riesco a costruire la figura proposta dal seguente quesito, in particolare non riesco a capire dove cada l'altezza:
Una piramide ha per base un rettangolo di dimensioni \(50\;cm\) e \(125\;cm\). Due facce laterali sono triangoli isosceli aventi le basi sui lati minori del rettangolo di base e le altezze di \(75\;cm\) e \(100\;cm\). Calcolare la misura dell'altezza, dell'area laterale e del volume.
Una piramide ha per base un rettangolo di dimensioni \(50\;cm\) e \(125\;cm\). Due facce laterali sono triangoli isosceli aventi le basi sui lati minori del rettangolo di base e le altezze di \(75\;cm\) e \(100\;cm\). Calcolare la misura dell'altezza, dell'area laterale e del volume.
La ringrazio in anticipo.
Due quesiti d’esame
Ricevo da Rosy la seguente domanda:
Carissimo profesore,
ripassando i quesiti per l'esame di stato… ho un dubbio sui seguenti (nn 3 e 4 pag w165 Manuale Blu di Matematica):
- Data la funzione:
\[g\left( x \right)=\int\limits_{0}^{{{x}^{2}}+x}{\arcsin t\,dt}\]
trova il suo campo di esistenza e discuti la sua derivabilità.
- Studia la funzione:
\[y=\ln x-x\]
e determina il suo valore medio nell’intervallo \(\left[ 1;2 \right]\).
Mi potrebbe indicare il metodo risolutivo? Grazie infinite,davvero!
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