l’idea che si vuole esprimere con il concetto di estremo superiore (e analogamente per quanto riguarda l’estremo inferiore) è che un sottoinsieme \(X\) di \(\mathbb{R}\) limitato superiormente o ammette un elemento massimo, cioè un mumero reale  \(M\) appartenente a  \(X\) maggiore di tutti gli altri numeri di \(X\), oppure esiste un numero reale \(M\)  non appartenente ad \(X\) che è possibile approssimare per difetto con un margine di errore piccolo quanto si vuole tramite elementi appartenenti ad \(X\), un numero cioè che è immediatamente “al di sopra” di ogni numero di \(X\) pur non appartenendo ad \(X\); in entrambi i casi, indichiamo \(M\) come estremo superiore di \(X\). In tal senso, tra tutti i numeri maggioranti di \(X\), che sono ovviamente infiniti e illimitati superiormente (non possiamo trovare tra i numeri reali “il più grande” dei maggioranti di \(X\), \(\infty\) non è un numero reale!…)  \(M\) è il più piccolo, il più “vicino” a \(X\).

Un semplice esempio: sia \(X\) l’insieme \(X=\left\{ x\in \mathbb{R}|x<2 \right\}\). Chiaramente ogni numero reale maggiore o uguale a \(2\) è un maggiorante per \(X\), ma solo \(M=2\) è l’estremo superiore per \(X\), poiché per quanto sia piccola la quantità \(\varepsilon\) che sottraiamo a \(2\), ottenendo \(2-\varepsilon\), esiste sicuramente almeno un \(x\in X\) (anzi ne esistono infiniti) tale che \(x>2-\varepsilon\), ad esempio il valore medio tra \(2-\varepsilon\) e \(2\), cioè \(x=2-\varepsilon /2\), quindi \(2-\varepsilon\) non è più un maggiorante per \(X\), per quanto piccolo sia \(\varepsilon\). Qualunque altro maggiorante di \(X\) maggiore di \(2\) ammette dei maggioranti minori, e quindi non è l’estremo superiore.