Ricevo da Antonella la seguente domanda:
Salve,
studiando gli insiemi numerici ed arrivando alla definizione di estremo superiore/inferiore ho riscontrato alcuni dubbi…
Def: “si dice che \(M\) è l’estremo superiore di un sottoinsieme \(X\) non vuoto e limitato superiormente, se \(M\) è il più piccolo dei maggioranti di \(X\)”
Sempre più avanti: “ossia comunque si prenda un numero reale \(b\) più piccolo di \(M\) si ha che \(b\) non è maggiorante per \(X\), cioè non è vera la relazione \(x\leq b\) per ogni \(x\in X\).
I miei dubbi stanno proprio in quanto appena scritto… ora in un insieme numerico limitato superiormente esistono più maggioranti e tra tutti verrebbe da dire che l’estremo superiore sia proprio il più grande fra questi ma come è evidente dalla definizione sembrerebbe sia tutto il contrario… potrebbe gentilmente chiarirmi questa idea? La ringrazio anticipatamente…
Le rispondo così:
Cara Antonella,
l’idea che si vuole esprimere con il concetto di estremo superiore (e analogamente per quanto riguarda l’estremo inferiore) è che un sottoinsieme \(X\) di \(\mathbb{R}\) limitato superiormente o ammette un elemento massimo, cioè un mumero reale maggiore di tutti gli altri numeri di \(X\), oppure esiste un numero reale \(M\) appartenente a \(X\) \(M\) non appartenente ad \(X\) che è possibile approssimare per difetto con un margine di errore piccolo quanto si vuole tramite elementi appartenenti ad \(X\), un numero cioè che è immediatamente “al di sopra” di ogni numero di \(X\) pur non appartenendo ad \(X\); in entrambi i casi, indichiamo \(M\) come estremo superiore di \(X\). In tal senso, tra tutti i numeri maggioranti di \(X\), che sono ovviamente infiniti e illimitati superiormente (non possiamo trovare tra i numeri reali “il più grande” dei maggioranti di \(X\), \(\infty\) non è un numero reale!…) \(M\) è il più piccolo, il più “vicino” a \(X\).
Un semplice esempio: sia \(X\) l’insieme \(X=\left\{ x\in \mathbb{R}|x<2 \right\}\). Chiaramente ogni numero reale maggiore o uguale a \(2\) è un maggiorante per \(X\), ma solo \(M=2\) è l’estremo superiore per \(X\), poiché per quanto sia piccola la quantità \(\varepsilon\) che sottraiamo a \(2\), ottenendo \(2-\varepsilon\), esiste sicuramente almeno un \(x\in X\) (anzi ne esistono infiniti) tale che \(x>2-\varepsilon\), ad esempio il valore medio tra \(2-\varepsilon\) e \(2\), cioè \(x=2-\varepsilon /2\), quindi \(2-\varepsilon\) non è più un maggiorante per \(X\), per quanto piccolo sia \(\varepsilon\). Qualunque altro maggiorante di \(X\) maggiore di \(2\) ammette dei maggioranti minori, e quindi non è l’estremo superiore.
Anche l’insieme \(X=\left\{ x\in \mathbb{R}|x\leq 2 \right\}\) ha come estremo superiore \(M=2\): poiché, a differenza di prima, \(2\) appartiene ad \(X\), in tal caso l’estremo superiore si qualifica come massimo.
In modo analogo, un insieme limitato inferiormente ammette comunque un estremo inferiore, cioè il maggiore tra i suoi minoranti.
Massimo Bergamini