Ricevo da Elisa la seguente domanda:
Caro professore, non sono riusciuta a risolvere questo quesiti:
1) Scrivi l’equazione del fascio di circonferenze che sono tangenti nel punto \(R(1;1)\) alla bisettrice del primo e terzo quadrante, trova l’equazione delle rette tangenti alla generica circonferenza nei punti \(A\) e \(B\) d’intersezione con l’asse \(x\) e indica con \(P\) il loro punto di intersezione. Trova l’equazione del luogo descritto da \(P\) e individuane il tipo.
2) Considera la circonferenza di equazione \((x-2)^2+(y-1)^2=9\), trova l’equazione del luogo dei punti che vedono la circonferenza sotto un angolo di \(60^\circ\).
Grazie mille.
Le rispondo così:
Cara Elisa,
nel primo problema, dapprima individuiamo l’equazione fascio di circonferenze, ad esempio combinando linearmente l’equazione della retta \(y=x\) e l’equazione della circonferenza di raggio nullo e centro \(R\), che sono gli elementi degeneri del fascio:
\[{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-\left( 2+k \right)x-\left( 2-k \right)y+2=0\]
e quindi, posto \(y=0\), determiniamo in funzione di \(k\) le coordinate dei punti \(A\) e \(B\):
\[A\left( 1+\frac{k}{2}-\frac{\sqrt{{{k}^{2}}+4k-4}}{2};0 \right)\quad B\left( 1+\frac{k}{2}+\frac{\sqrt{{{k}^{2}}+4k-4}}{2};0 \right)\quad k\le -2-2\sqrt{2}\vee k\ge -2+2\sqrt{2}\quad .\]
Per ovvie ragioni geometriche, possiamo dire che le tangenti in \(A\) e \(B\) si incontrano in un punto \(P\) la cui ascissa è intermedia tra quelle di \(A\) e \(B\), cioè \(x_P=1+k/2\); per determinare l’ordinata di \(P\) è quindi sufficiente trovare l’equazione di una delle due tangenti, ad esempio quella in \(A\), come perpendicolare al raggio nel punto di tangenza e porre in essa \(x=x_P\):
\[y=\frac{\sqrt{{{k}^{2}}+4k-4}}{k-2}\left( x-1-\frac{k}{2}+\frac{\sqrt{{{k}^{2}}+4k-4}}{2} \right)\to \]
\[\to {{y}_{P}}=\frac{\sqrt{{{k}^{2}}+4k-4}}{k-2}\cdot \frac{\sqrt{{{k}^{2}}+4k-4}}{2}=\frac{{{k}^{2}}+4k-4}{2\left( k-2 \right)}\ \quad k\le -2-2\sqrt{2}\vee k\ge -2+2\sqrt{2},\ k\ne 2\ .\]
Ricavando il parametro \(k\) in funzione di \(x_P\), cioè \(k=2x_P-2\), osservando che le limitazioni su \(k\) si traducono nella limitazione \({{x}_{P}}\le -\sqrt{2}\vee x\ge \sqrt{2},\ \ x\ne 2\), e infine sostituendo nell’espressione di \(y_P\) si ottiene:
\[{{y}_{P}}=\frac{{{x}_{P}}^{2}-2}{{{x}_{P}}-2}\quad \quad {{x}_{P}}\le -\sqrt{2}\vee {{x}_{P}}\ge \sqrt{2},\ {{x}_{P}}\ne 2\]
che, posto\((x_P;y_P)=(x;y)\), può anche scriversi come
\[{{x}^{2}}-xy+2y-2=0\quad x\le -\sqrt{2}\vee x\ge \sqrt{2},\ x\ne 2\]
e questa è l’equazione di una iperbole roto-traslata, di centro \((2;4)\) e asintoti \(x=2\) e \(y=x+2\), privata di un arco:
Nel secondo problema, se ben interpreto la consegna, si può facilmente osservare che lungo ogni semiretta uscente dal centro \(C\) di una circonferenza vi è un solo punto \(P\), esterno ad essa, da cui possono essere mandate due tangenti, nei punti \(A\) e \(B\), che formano un dato angolo compreso tra \(180^\circ\) e \(0^\circ\), e tale punto è ad una data distanza \(PC\) dal centro della circonferenza, quindi, per simmetria, il luogo cercato è sicuramente una seconda circonferenza concentrica alla prima. Nel caso di un angolo di \(60°\), si osserva facilmente che, dovendo il triangolo rettangolo \(CPA\) avere in \(P\) un angolo di \(30\circ\), il raggio \(CP\) deve essere il doppio del raggio \(CA\), per cui l’equazione del luogo cercato è data semplicemente dalla seguente:
\[(x-2)^2+(y-1)^2=36\;\;\;\;.\]
Massimo Bergamini