MyZanichelli - la tua chiave digitale. Registrati per accedere alle risorse online di Zanichelli Editore
 
Entra
Stai consultando l'archivio di Scienze. Visita la nuova Aula di Scienze!
Zanichelli Editore
Aula di Scienze
  • Home Page
  • Menù
  • Novità
Zanichelli - Aula di scienze
  • Home
  • Per saperne di più
  • News
  • I Blog di Aula di Scienze
  • Idee per insegnare
  • L'esperto risponde
    • L'esperto di matematica
    • L'esperto di fisica
    • L'esperto di chimica
  • La Redazione

Archivio per data

  • Giugno 2013
  • Maggio 2013
  • Aprile 2013
  • Marzo 2013
  • Febbraio 2013
  • Gennaio 2013
  • Dicembre 2012
  • Novembre 2012
  • Ottobre 2012
  • Settembre 2012
  • Giugno 2012
  • Maggio 2012
  • Aprile 2012
  • Marzo 2012
  • Febbraio 2012
  • Gennaio 2012
  • Dicembre 2011
  • Novembre 2011
  • Ottobre 2011
  • Settembre 2011
  • Giugno 2011
  • Maggio 2011
  • Aprile 2011
  • Marzo 2011
  • Febbraio 2011
  • Gennaio 2011
  • Dicembre 2010
  • Novembre 2010
  • Ottobre 2010
  • Settembre 2010
  • Luglio 2010
  • Giugno 2010
  • Maggio 2010
  • Aprile 2010
  • Marzo 2010
  • Febbraio 2010
  • Gennaio 2010
  • Dicembre 2009
  • Novembre 2009
  • Ottobre 2009
  • Luglio 2009
  • Giugno 2009
  • Maggio 2009
  • Aprile 2009
  • Marzo 2009
  • Febbraio 2009

I tag più utilizzati dall'esperto

  • analisi infinitesimale
  • derivate
  • limiti
  • goniometria
  • studio di funzione
  • geometria solida
  • trigonometria
  • circonferenza
  • equazioni parametriche
  • parabola

Aggiornamenti

  • RSS L'esperto risponde
IdeeLIM - Idee per insegnare con la Lavagna Interattiva Multimediale
Spazio CLIL - Content and Language Integrated Learning
Home Scuola Aula Scienze L’esperto risponde - Matematica

Ancora un’equazione differenziale

Ancora un’equazione differenziale

Disciplina: Matematica Analisi 
di Massimo Bergamini, 23 Ottobre 2011
Ricevo da Sara la seguente domanda:
 
Caro professore,
potete aiutarmi?
Data l'equazione differenziale  
\[y"+2y’ = 4x + e^{-2x}\]
cerca la soluzione che passa per \(P=(1,0)\) ed ha in \(P\) retta tangente parallela alla retta \(y=x\).
 
Le rispondo così:
 
Cara Sara,
l’equazione che proponi equivale al seguente “problema di Cauchy”:
    \[\left\{ \begin{array}{lll} y"+2y’ = 4x + e^{-2x} \\ y(1)=0 \\ y’(1)=1 \end{array} \right. \quad .\]
L’equazione è associata all’equazione omogenea \(y"+2y’ = 0\), il cui polinomio caratteristico \(t^2+2t=0\) ha due soluzioni reali, \(t=0\) e \(t=-2\), pertanto la soluzione generale dell’omogenea è:
                                               \[{{y}_{0}}\left( x \right)=A+B\cdot {{e}^{-2x}}\]
con \(A\) e \(B\) costanti arbitrarie.
Per ricavare la soluzione generale dell’equazione, occorre individuarne una soluzione particolare \(\bar{y}\left( x \right)\). Data la forma della funzione \(4x + e^{-2x}\), cerchiamo una \(\bar{y}\left( x \right)\) del tipo \(\bar{y}\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+dx{{e}^{-x}}\), con \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), parametri da determinare in modo che \(\bar{y}''\left( x \right)+2\bar{y}’\left( x \right)=4x+{{e}^{-2x}}\), cioè:
     \[6ax+2b-4d{{e}^{-2x}}+4dx{{e}^{-2x}}+6a{{x}^{2}}+4bx+2c+2d{{e}^{-2x}}-4dx{{e}^{-2x}}=4x+{{e}^{-2x}}\Rightarrow \]
                      \[6a{{x}^{2}}+\left( 4b+6a \right)x+\left( 2b+2c \right)-2d{{e}^{-2x}}=4x+{{e}^{-2x}}\quad .\]
Uguagliando i coefficienti dei termini omologhi, si ha \(a=0\), \(b=1\), \(c=-1\) e \(d=-1/2\), da cui \(\bar{y}\left( x \right)=x^2-x-\frac{1}{2}x{{e}^{-2x}}\); pertanto, la soluzione generale dell’equazione è data da:
\[y\left( x \right)={{y}_{0}}\left( x \right)+\bar{y}\left( x \right)=A+B{{e}^{-2x}}+{{x}^{2}}-x-\frac{1}{2}x{{e}^{-2x}}=\left( \frac{2B-x}{2} \right){{e}^{-2x}}+{{x}^{2}}-x+A\quad .\]
Le condizioni \(y(1)=0\) e \(y’(1)=1\) si traducono nelle seguenti:
\[y\left( 1 \right)=A+\frac{\left( 2B-1 \right)}{2}{{e}^{-2}}=0\wedge {y}'\left( 1 \right)=\frac{\left( 1-2B \right)}{2}{{e}^{-2}}+1=1\Rightarrow A=0\wedge B=\frac{1}{2}\]
da cui la soluzione richiesta:
                                                      \[y\left( x \right)=\frac{\left( 1-x \right)}{2}{{e}^{-2x}}+{{x}^{2}}-x\quad .\]
 
 
Massimo Bergamini
Tag: analisi infinitesimale, equazioni differenziali lineari, grafico


© 2008 - 2022 Zanichelli Editore SpA - P. I. 03978000374 - C. F. e N. I. Registro delle Imprese 08536570156 - R.E.A. n.329604
Progetto e sviluppo web duDAT Srl