Ricevo da Sara la seguente domanda:
Caro professore,
potete aiutarmi?
Data l'equazione differenziale
\[y"+2y’ = 4x + e^{-2x}\]
cerca la soluzione che passa per \(P=(1,0)\) ed ha in \(P\) retta tangente parallela alla retta \(y=x\).
Le rispondo così:
Cara Sara,
l’equazione che proponi equivale al seguente “problema di Cauchy”:
\[\left\{ \begin{array}{lll} y"+2y’ = 4x + e^{-2x} \\ y(1)=0 \\ y’(1)=1 \end{array} \right. \quad .\]
L’equazione è associata all’equazione omogenea \(y"+2y’ = 0\), il cui polinomio caratteristico \(t^2+2t=0\) ha due soluzioni reali, \(t=0\) e \(t=-2\), pertanto la soluzione generale dell’omogenea è:
\[{{y}_{0}}\left( x \right)=A+B\cdot {{e}^{-2x}}\]
con \(A\) e \(B\) costanti arbitrarie.
Per ricavare la soluzione generale dell’equazione, occorre individuarne una soluzione particolare \(\bar{y}\left( x \right)\). Data la forma della funzione \(4x + e^{-2x}\), cerchiamo una \(\bar{y}\left( x \right)\) del tipo \(\bar{y}\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+dx{{e}^{-x}}\), con \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), parametri da determinare in modo che \(\bar{y}''\left( x \right)+2\bar{y}’\left( x \right)=4x+{{e}^{-2x}}\), cioè:
\[6ax+2b-4d{{e}^{-2x}}+4dx{{e}^{-2x}}+6a{{x}^{2}}+4bx+2c+2d{{e}^{-2x}}-4dx{{e}^{-2x}}=4x+{{e}^{-2x}}\Rightarrow \]
\[6a{{x}^{2}}+\left( 4b+6a \right)x+\left( 2b+2c \right)-2d{{e}^{-2x}}=4x+{{e}^{-2x}}\quad .\]
Uguagliando i coefficienti dei termini omologhi, si ha \(a=0\), \(b=1\), \(c=-1\) e \(d=-1/2\), da cui \(\bar{y}\left( x \right)=x^2-x-\frac{1}{2}x{{e}^{-2x}}\); pertanto, la soluzione generale dell’equazione è data da:
\[y\left( x \right)={{y}_{0}}\left( x \right)+\bar{y}\left( x \right)=A+B{{e}^{-2x}}+{{x}^{2}}-x-\frac{1}{2}x{{e}^{-2x}}=\left( \frac{2B-x}{2} \right){{e}^{-2x}}+{{x}^{2}}-x+A\quad .\]
Le condizioni \(y(1)=0\) e \(y’(1)=1\) si traducono nelle seguenti:
\[y\left( 1 \right)=A+\frac{\left( 2B-1 \right)}{2}{{e}^{-2}}=0\wedge {y}'\left( 1 \right)=\frac{\left( 1-2B \right)}{2}{{e}^{-2}}+1=1\Rightarrow A=0\wedge B=\frac{1}{2}\]
da cui la soluzione richiesta:
\[y\left( x \right)=\frac{\left( 1-x \right)}{2}{{e}^{-2x}}+{{x}^{2}}-x\quad .\]
Massimo Bergamini