Ricevo da Luca la seguente domanda:
Caro professore,
potrebbe aiutarmi con questo esercizio?
Sia \[A=\left\{ z\in \mathbb{C}:0<\left| z \right|<\frac{1}{4},0<\arg \left( z \right)<\frac{\pi }{3} \right\}\quad .\] Determinare l'insieme \(B\) (e disegnarne le immagini sul piano complesso) tale che
\[B=\left\{ w\in \mathbb{C}:w=\frac{1}{z},z\in A \right\}\quad .\]
Grazie mille!
Gli rispondo così:
Caro Luca,
per ricavare \(B\) conviene utilizzare la notazione esponenziale \(z=\rho {{e}^{i\vartheta }}\), dove \(\rho =\left| z \right|\) e \(\vartheta =\arg \left( z \right)\): con tale notazione, si può caratterizzare \(w=\frac{1}{z}\) nel modo seguente:
\[\forall z=\rho {{e}^{i\vartheta }}\Rightarrow w=\frac{1}{z}\Leftrightarrow w={{\rho }_{1}}{{e}^{i{{\vartheta }_{1}}}}:{{\rho }_{1}}=\frac{1}{\rho },{{\vartheta }_{1}}=-\vartheta \quad .\]
Pertanto, si ha che:
\[0<\rho <\frac{1}{4}\Rightarrow {{\rho }_{1}}>4,\ 0<\vartheta <\frac{\pi }{3}\Rightarrow -\frac{\pi }{3}<{{\vartheta }_{1}}<0\quad .\]
L’insieme \(B\) è rappresentabile come la porzione del 4° quadrante del piano complesso esterna alla circonferenza di raggio \(4\) e interna all’angolo di vertice nell’origine e di ampiezza \(\pi/3\) a partire dal semiasse reale positivo, in senso orario.
Massimo Bergamini