Ricevo da Ferdinando la seguente domanda:
Caro Prof. Bergamini,
nel volume 4 Matematica.Blu 2.0 sono riportati a pag. 702, n.18 e n.19, questi problemi sulle funzioni goniometriche:
· Considera la funzione \(y=a+b\,\text{arcsen}\left[ c\left( x+d \right) \right]\), con \(b\) e \(c\) positivi.
a) Determina i parametri \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) in modo che abbia dominio \(\left[ -\frac{1}{2};\frac{11}{2} \right]\) e codominio \(\left[ 0;2\pi \right]\) e che il suo grafico passi per \(P\left( \frac{5}{2};\pi \right)\).
b) Esegui una traslazione in modo che il grafico della funzione \(f(x)\) ottenuta abbia centro di simmetria nell’origine.
c) Traccia il grafico di \(\frac{1}{f\left( x \right)}\).
d) Trova l’equazione della funzione \({{f}^{-1}}\left( x \right)\) inversa di \(f\) e disegna il suo grafico.
· Data la funzione \(y=a\sin bx+c\), con \(a\) e \(b\) positivi:
a) trova \(a\), \(b\), \(c\) in modo che il periodo sia \(3\pi\) e il codominio \(\left[ -\frac{1}{2};\frac{5}{2} \right]\);
b) esegui una traslazione di vettore \(\vec{v}\left( 0;-1 \right)\) e determina i punti di intersezione con l’asse \(x\) del grafico della funzione \(f(x)\) ottenuta, nell’intervallo \(\left[ -\pi ;\pi \right]\);
c) traccia il grafico di \(\frac{1}{\sqrt{f\left( x \right)}}\) indicando il suo dominio e il suo codominio.
Chiedo aiuto nella risoluzione. La ringrazio di cuore.
Gli rispondo così:
Caro Ferdinando,
nel primo esercizio, poiché la funzione arcoseno è definita nell’intervallo \(\left[ -1;1 \right]\), si deve avere \(-1\leq c(x+d)\leq 1\), cioè \(-1/c-d \leq x \leq 1/c-d\), da cui \(-1/c-d=-1/2\) e \(1/c-d=11/2\), risolta da \(c=1/3\) e \(d=-5/2\). Sapendo che il codominio di arcoseno è l’intervallo \(\left[ -\pi /2;\pi /2 \right]\), si deve avere \(-\pi/2\leq (y-a)/b\leq \pi/2\), da cui \(a-\pi b/2\leq y\leq a+\pi b/2\), e quindi \( a-\pi b/2=0\) e \( a+\pi b/2=2\pi\), risolta da \(a=\pi\) e \(b=2\). La funzione così ottenuta
\[y=\pi +2\,\text{arcsen}\left[ \frac{1}{3}\left( x-\frac{5}{2} \right) \right]\]
è anche tale che il suo grafico passa per il punto \(P\left( \frac{5}{2};\pi \right)\).
Per rispondere alla domanda successiva, osserviamo che la funzione in questione è stata ottenuta dalla funzione \(y=2\,\text{arcsen}\left( \frac{1}{3}x \right)\), simmetrica rispetto all’origine, per traslazione di vettore \(\vec{v}\left( 5/2;\pi \right)\) ; basta quindi operare la traslazione inversa, di vettore \(\vec{v}\left( -5/2;-\pi \right)\) , per ottenere appunto la funzione
\[f(x)=2\,\text{arcsen}\left( \frac{1}{3}x \right)\quad .\]
La funzione \(\frac{1}{f\left( x \right)}\) conserva la simmetria di \(f(x)\), ma presenta un andamento decrescente, essendo \(f(x)\) crescente, e in \(x=0\), dove \(f(x)\) vale \(0\), tende a \(\pm\infty\).
L’inversa di \(f(x)\) si ottiene considerando \(\sin(y/2)=\sin\left(\text{arcsen}(x/3)\right)=x/3\), da cui, scambiati i nomi alle variabili, si ha \(y={{f}^{-1}}\left( x \right)=3\sin(x/2)\), con \(-\pi\leq x\leq \pi\).
Nel secondo esercizio, poichè \(\sin(bx)\) ha periodo \(2\pi/b\), si deve avere \(b=2/3\) per soddisfare quanto richiesto, e poiché il codominio di \(a\,\sin bx+c\) è \(\left[ c-a;c+a \right]\), si deve avere \(c-a=-1/2\) e \(c+a=5/2\), da cui \(c=1\) e \(a=3/2\). La funzione risulta quindi \(y=\frac{3}{2}\sin \left( \frac{2}{3}x \right)+1\).
La traslazione indicata produce la funzione \(f\left( x \right)=\frac{3}{2}\sin \left( \frac{2}{3}x \right)\), il cui grafico incontra l’asse \(x\), limitatamente all’intervallo \(\left[ -\pi ;\pi \right]\), nelle soluzioni dell’equazione \(\sin \left( \frac{2}{3}x \right)=0\) che cadono in tale intervallo, cioè solo \(x=0\).
La funzione \(\frac{1}{\sqrt{f\left( x \right)}}\) è definita solo laddove \(f(x)>0\), cioè ha come dominio l’insieme costituito dall’unione degli intervalli \(\left[ 3k\pi ,\frac{3}{2}\pi +3k\pi \right]\), con \(k\in \mathbb{Z}\). Poiché \(0\le \left| f\left( x \right) \right|\le \frac{3}{2}\), si ha \(0\le \sqrt{f\left( x \right)}\le \sqrt{\frac{3}{2}}\), da cui \(\frac{1}{\sqrt{f\left( x \right)}}\ge \sqrt{\frac{2}{3}}\), cioè il codominio è l’insieme \(\left[ \sqrt{\frac{2}{3}};+\infty \right[\).
Massimo Bergamini