Ricevo da Elisa la seguente domanda:
Caro professore,
non ho saputo impostare questo problema:
Data la semicirconferenza di diametro \(AB=2r\) e centro \(O\), traccia le corde \(AC\) e \(AD\), essendo \(D\) il punto medio dell’arco \(CB\). Considera i quadrilateri \(ACDB\) e \(OCDB\) e calcola le loro aree in funzione dell’angolo \(x=C\hat{A}D\). Determina quindi il limite al tendere di \(x\) a \(0\) del rapporto fra le due aree.
Grazie mille
Le rispondo così:
Cara Elisa,
con riferimento alla figura, osserviamo che, poiché le corde \(CD\) e \(DB\) sono congruenti, allora sono tali anche i relativi angoli alla circonferenza \(C\hat{A}D=B\hat{A}D=x\) e i relativi angoli al centro \(C\hat{O}D=B\hat{O}D=2x\). Poiché:
\[CM=ON=r\sin 2x\quad AC=2r\cos 2x\]
possiamo ricavare le seguenti aree:
\[{{S}_{OCDB}}=2{{S}_{COD}}={{r}^{2}}\sin 2x\quad {{S}_{ACDB}}={{S}_{OCDB}}+{{S}_{AOC}}={{r}^{2}}\sin 2x+{{r}^{2}}\sin 2x\cos 2x\quad .\]
Pertanto, il limite richiesto è:
\[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{S}_{ACDB}}}{{{S}_{OCDB}}}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{r}^{2}}\sin 2x\left( 1+\cos 2x \right)}{{{r}^{2}}\sin 2x}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( 1+\cos 2x \right)=2\quad .\]
Massimo Bergamini