Ricevo da Elisa la seguente domanda:
Caro professore,
non sono riuscita a capire questi quesiti:
1) Un personaggio un po’ strano ti propone un affare: per \(30\) giorni consecutivi ti darà \(1\) euro il primo giorno, \(2\) euro il secondo, \(3\) euro il terzo giorno e così via, aumentando di \(1\) euro ogni giorno; in cambio vuole avere \(1\) millesimo di millesimo di euro il primo giorno, \(2\) millesimi di millesimi il secondo giorno, \(4\) il terzo giorno, e così via raddoppiando ogni giorno. Ti conviene accettare?
2) Sia \(Q\) il quadrato di lato unitario. Sia \(Q_1\) il quadrato che si ottiene congiungendo i punti medi dei lati di \(Q\). Sia \(Q_2\) il quadrato che si ottiene congiungendo i punti medi dei lati di \(Q_1\). Continuando in questo modo si costruisce una successione \(Q_n\) di quadrati inscritti uno nell altro. Sia \(a_n\) la successione dei perimetri di tali quadrati e sia \(b_n\) la successione delle loro aree. Trova l’espressione del termine generale delle due successioni e stabilisci il carattere di \(a_n\) e \(b_n\).
Grazie mille.
Le rispondo così:
Cara Elisa,
la proposta del personaggio un po’ strano non conviene. Se indichiamo con \(n\) i giorni trascorsi, con \(r_n\) la successione delle somme che riceviamo e con \(d_n\) quella delle somme che dobbiamo dare, si ha nel primo caso la progressione aritmetica \({{r}_{n}}=n\) e nel secondo caso la progressione geometrica \({{d}_{n}}={{10}^{-6}}\cdot {{2}^{n-1}}\). Le somme al giorno \(n\) dei termini di \(r_n\) e di \(d_n\) sono quindi le seguenti:
\[{{R}_{n}}=1+2+…+n=\frac{n\left( n+1 \right)}{2}\quad {{D}_{n}}={{10}^{-6}}\left( 1+2+{{2}^{2}}+…+{{2}^{n-1}} \right)={{10}^{-6}}\frac{{{2}^{n}}-1}{2-1}=\frac{{{2}^{n}}-1}{{{10}^{6}}}\quad .\]
Pertanto:
\[{{R}_{30}}=\frac{30\cdot 31}{2}=465 <{{D}_{30}}=\frac{{{2}^{30}}-1}{{{10}^{6}}}\approx 1073,74 \quad .\]
La proposta sarebbe stata conveniente solamente se non si fosse protratta per più di \(28\) giorni, come puoi verificare.
Nel secondo problema, si tratta semplicemente di osservare che i quadrati in successione sono tutti simili tra loro secondo uno stesso rapporto di similitudine cioè \(\frac{\sqrt{2}}{2}\), essendo tale il rapporto tra il lato di un quadrato e quello del precedente nella successione. Pertanto, i perimetri formano una progressione geometrica di ragione \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) e primo termine \(4\), mentre le aree formano una progressione geometrica di ragione \({{\left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}=\frac{1}{2}\) e primo termine \(1\):
\[{{a}_{n}}=4{{\left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)}^{n}}=4,2\sqrt{2},2,…\quad {{b}_{n}}={{\left( \frac{1}{2} \right)}^{n}}=1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},…\quad .\]
Entrambe le progressioni, in quanto di ragione minore di \(1\), sono convergenti a \(0\), mentre le loro somme convergono ad un valore finito:
\[{{A}_{\infty }}={{a}_{1}}+{{a}_{2}}+…+{{a}_{n}}+…=\frac{4}{1-\sqrt{2}/2}=4\left( 2+\sqrt{2} \right)\quad {{B}_{\infty }}={{b}_{1}}+{{b}_{2}}+…+{{b}_{n}}+…=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2\ .\]
Massimo Bergamini