Ricevo da Carola la seguente domanda:
Caro professore,
le volevo chiedere un aiuto per risolvere questo problema un po' complesso:
Dati il settore circolare \(AOB\) con \(A\hat{O}B=60{}^\circ\) e \(AO=OB=r\), siano \(M\) il punto medio di \(OA\), \(P\) un punto dell'arco \(AB\) e \(Q\) un punto sulla semiretta \(OB\) tale che \(M\hat{P}Q=90{}^\circ\). Esprimere \(OQ\) in funzione di \(x=P\hat{O}Q\) e studiare poi la funzione \(OQ=y(t)\), essendo \(\tan(x/2)=t\).
La ringrazio in anticipo.
Le rispondo così:
Cara Carola,
con riferimento alla figura, possiamo osservare che, detti \(\alpha\) l’angolo \(O\hat{P}M\) e \(\beta\) il suo complementare \(O\hat{P}Q\), applicando il teorema dei seni al triangolo \(OPQ\) si ha
\[\frac{OQ}{\sin \beta }=\frac{OP}{\sin \left( x+\beta \right)}\Rightarrow OQ=\frac{r}{\cos x+\cot \beta \sin x}\]
cioè la funzione \(OQ(x)\) è determinata se riusciamo ad esprimere \(\cot\beta=\tan\alpha\) in termini di \(x\). A tale scopo, utilizzando il teorema di Carnot possiamo ricavare \(PM\) in termini di \(x\):
\[P{{M}^{2}}=P{{O}^{2}}+O{{M}^{2}}-2PM\cdot OM\cos \left( \pi /3-x \right)\Rightarrow PM=\frac{r}{2}\sqrt{5-4\cos \left( \pi /3-x \right)}\]
da cui, applicando nuovamente il teorema dei coseni al triangolo \(OPM\), si ottiene
\[\cos \alpha =\frac{O{{P}^{2}}+P{{M}^{2}}-O{{M}^{2}}}{2OP\cdot PM}=…=\frac{2-\cos \left( \pi /3-x \right)}{\sqrt{5-4\cos \left( \pi /3-x \right)}}\Rightarrow \cot \beta =\tan \alpha =\frac{\sin \left( \pi /3-x \right)}{2-\cos \left( \pi /3-x \right)}\]
pertanto:
\[OQ\left( x \right)=\frac{r\left( 2-\cos \left( \pi /3-x \right) \right)}{\sin x\sin \left( \pi /3-x \right)+\cos x\left( 2-\cos \left( \pi /3-x \right) \right)}=…=\frac{r\left( 4-\cos x-\sqrt{3}\sin x \right)}{4\cos x-1}\quad .\]
Utilizzando le formule parametriche \(\sin x=\frac{2t}{1+{{t}^{2}}}\), \(\cos x=\frac{1-{{t}^{2}}}{1+{{t}^{2}}}\), con \(t=\tan(x/2)\), si ottiene la funzione richiesta:
\[OQ=y\left( t \right)=\frac{5{{t}^{2}}-2\sqrt{3}t+3}{3-5{{t}^{2}}}r\quad .\]
Senza tener conto delle limitazioni geometriche del problema, e ponendo per semplicità \(r=1\), \(y(t)\) si presenta come una funzione razionale fratta, non definita in \(t=\pm \sqrt{15}/5\) (asintoti verticali), tendente a \(-1\) nei limiti \(t\to \pm \infty \) (asintoto orizzontale). La derivata \(y^\prime (t)\)
\[y'\left( t \right)=-\frac{2\sqrt{3}\left( 5{{t}^{2}}-10\sqrt{3}t+3 \right)}{{{\left( 3-5{{t}^{2}} \right)}^{2}}}\]
si annulla in \({{t}_{1,2}}=\frac{\sqrt{3}\left( 5\pm 2\sqrt{5} \right)}{5}\), dove la funzione presenta un minimo e un massimo locali.
Massimo Bergamini