Ricevo da Elisa la seguente domanda:
Caro professore,
mi aiuti a risolvere questo quesito:
A una circonferenza di raggio \(r\) circoscrivere un rombo di vertici consecutivi \(A\), \(B\), \(C\) e \(D\) in modo che, condotta una tangente parallela alla diagonale minore \(AC\), risulti uguale a \(kr^2\) (\(k\) appartenete ai numeri reali positivi) il prodotto tra il segmento da questa intercettato sui lati \(AB\) e \(BC\) e la lunghezza del lato del rombo stesso.
Grazie mille.
Le rispondo così:
Cara Elisa,
con riferimento alla figura, poniamo \(x=Q\hat{O}N=M\hat{O}Q\), con \(0<x<\pi/4\). Semplici considerazioni geometriche e trigonometriche ci permettono di scrivere:
\[NQ=MQ=PM=r\tan x\quad BC=BN+NC=r\left( \tan 2x+\tan \left( \frac{\pi }{2}-2x \right) \right)\]
da cui l’equazione richiesta:
\[PQ\cdot BC=k{{r}^{2}}\Rightarrow 2\tan x\left( \tan 2x+\cot 2x \right)=k\quad .\]
Posto \(X=\tan x\) e \(\tan 2x=2\tan x/(1-\tan^2 x)=1/\cot 2x\), si ha:
\[\left( k-1 \right){{\tan }^{2}}x+2\tan x-k+1=0\quad .\]
Questa equazione, con la condizione \(0<x<\pi/4\), posto \(X=\tan x\) equivale al seguente sistema:
\[\left\{ \begin{array}{lll} (k-1)Y+2X+1-k=0 \\ Y=X^2 \\ 0<X<1 \end{array} \right. \]
cioè all’intersezione tra l’arco di parabola di estremi \((0,0)\) e \((1,1)\) (esclusi) e il fascio proprio di rette di centro \((0,1)\); si ricava facilmente che si ha una e una sola soluzione per ogni \(k>1\).
Massimo Bergamini