Ricevo da Carola la seguente domanda:
Caro professore,
mi darebbe una mano a risolvere questo problema?
In un sistema di assi cartesiani ortogonali di origine \(O\) è data la semicirconferenza di equazione \(4x^2+4y^2-3=0\) con \(y\geq0\). Una retta \(r\), passante per \(A(-1;0)\), forma un angolo \(\alpha\) con la direzione positiva dell'asse \(x\) e interseca la semicirconferenza in \(P\) e in \(Q\). La circonferenza passante per \(O\),\(P\),\(Q\) interseca ulteriormente in \(F\) l'asse delle \(x\) e sia \(OR\) il suo diametro. In funzione di \(\alpha\) risolvere il triangolo \(ORF\).
Grazie mille.
Le rispondo così:
Cara Carola,
con riferimento alla figura, possiamo osservare che, per ogni angolo \(\alpha\) compreso tra \(0\) e \(\pi/3\), il centro \(C\) della circonferenza passante per \(O\),\(P\),\(Q\) giace sulla perpendicolare alla corda \(PQ\), cioè ha coordinate \((x,-\cot\alpha x)\). Per ricavare il raggio \(OC\), osserviamo che, per il teorema della corda, \(2OC\sin \left( O\hat{Q}P \right)=OP=\sqrt{3}/2\), e inoltre \(\sin \left( O\hat{Q}P \right)=OM/OQ=OA\sin \alpha /OQ=2\sin \alpha /\sqrt{3}\), per cui \(OC=3/\left( 8\sin \alpha \right)\). Pertanto, il centro \(C\) della circonferenza passante per \(O\),\(P\),\(Q\) deve appartenere anche alla circonferenza di centro \(O\) e raggio \(3/\left( 8\sin \alpha \right)\), e quindi deve soodisfare entrambe le seguenti equazioni:
\[y=-\cot \alpha \cdot x\quad \quad {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=\frac{9}{64{{\sin }^{2}}\alpha }\]
da cui, tenendo conto che, per le limitazioni geometriche del problema, \(C\) deve appartenere al \(2^\circ\) quadrante:
\[C\left( -\frac{3}{8};\frac{3}{8}\cot \alpha \right)\Rightarrow R\left( -\frac{3}{4};\frac{3}{4}\cot \alpha \right)\quad .\]
La circonferenza passante per \(O\),\(P\),\(Q\) ha equazione:
\[{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}\tan \alpha \cdot y=0\]
e intereseca l’asse \(x\), oltre che in \(O\), in \(F(-3/4;0)\), indipendentemente da \(\alpha\). Ne consegue che il triangolo \(ORF\) è rettangolo in \(F\), con il cateto \(OF\) indipendente da \(\alpha\), \(RF=\frac{3}{4}\cot \alpha\) e \(FO=\frac{3}{4\sin\alpha}\); l’angolo \(O\hat{R}F\) è ovviamente congruente ad \(\alpha\).
Massimo Bergamini