Ricevo da Carola la seguente domanda:
Caro professore,
mi potrebbe aiutare a risolvere questo problema?
In un piano cartesiano \(Oxy\) considerare quella parte del cerchio di centro \(O\) e raggio \(r\) situata nel primo quadrante; siano i punti \(A(r;0)\) e \(B(0;r)\). Considerato un generico raggio \(OP\), siano \(H\) e \(K\) le proiezioni rispettivamente di \(A\) e di \(B\) su \(OP\) e sia \(M\) il punto medio di \(HK\). Qual è il luogo descritto da \(M\) al variare di \(P\) ? Determinare i valori massimi e minimi, relativi e assoluti, dell'area del triangolo \(AHK\).
La ringrazio e ne approfitto per farle gli auguri di un sereno Natale e di un felice anno nuovo!
Le rispondo così:
Cara Carola,
detto \(\alpha\) l’angolo \(A\hat{O}P\), con \(0\leq \alpha\leq \pi/2\), si ha:
\[OH=r\cos \alpha \quad OK=r\sin \alpha \quad \]
e quindi
\[H\left( r{{\cos }^{2}}\alpha ;r\cos \alpha \sin \alpha \right)\quad K\left( r\sin \alpha \cos \alpha ;r{{\sin }^{2}}\alpha \right)\]
che, utilizzando note formule goniometriche, si possono indicare anche in questo modo:
\[H\left( \frac{r\left( \cos 2\alpha +1 \right)}{2};\frac{r\sin 2\alpha }{2} \right)\quad K\left( \frac{r\sin 2\alpha }{2};\frac{r\left( 1-\cos 2\alpha \right)}{2} \right)\quad .\]
Per le coordinate del punto medio \(M\) si ottiene:
\[M\left( \frac{r\left( 1+\sin 2\alpha +\cos 2\alpha \right)}{4};\frac{r\left( 1+\sin 2\alpha -\cos 2\alpha \right)}{4} \right)\]
con \(0\leq 2\alpha\leq \pi\), cioè \(M\) ha coordinate entrambe positive. Si tratta ora di eliminare il parametro \(\alpha\), osservando che:
\[\left( \frac{4x}{r}-1 \right)=\sin 2\alpha +\cos 2\alpha \quad \left( \frac{4y}{r}-1 \right)=\sin 2\alpha -\cos 2\alpha \]
\[{{\left( \frac{4x}{r}-1 \right)}^{2}}=1+\sin 4\alpha \quad {{\left( \frac{4y}{r}-1 \right)}^{2}}=1-\sin 4\alpha \to {{\left( \frac{4x}{r}-1 \right)}^{2}}+{{\left( \frac{4y}{r}-1 \right)}^{2}}=2\]
da cui l’equazione di un arco di circonferenza, di centro \((r/4;r/4)\) e raggio \(r/\sqrt{8}\):
\[16{{x}^{2}}+16{{y}^{2}}-8rx-8ry=0\quad \quad x,y\ge 0\quad .\]
L’area \(S\) del triangolo rettangolo \(AHK\) è data, in funzione di \(\alpha\), dalla seguente:
\[S\left( \alpha \right)=\frac{1}{2}AH\cdot \left| OK-OH \right|=\frac{{{r}^{2}}}{2}\sin \alpha \left| \sin \alpha -\cos \alpha \right|\quad 0\le \alpha \le \frac{\pi }{2}\]
funzione che presenta due minimi relativi ed assoluti, di valore \(0\), in \(\alpha=0\) e in \(\alpha=\pi/4\), un massimo relativo di valore \({{r}^{2}}\left( \sqrt{2}-1 \right)/4\) in \(\alpha=\pi/8\), un massimo assoluto di valore \(r^2/2\) in \(\alpha=\pi/2\) (Nel grafico sosttostante si è posto \(r=\sqrt{2}\)).
Massimo Bergamini