Ricevo da Luca la seguente domanda:
Caro professore,
mi può gentilmente spiegare il meccanismo per risolvere questa tipologia di esercizi?
Siano \(f(x)\) e \(g(x)\) tali che:
\[f(x)=\left\{ \begin{array}{lll} -1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x\leq -4 \\ x+3\;\;\;\;\; -4<x\leq 0 \\ 2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; x>0 \end{array} \right. \]
\[g(x)=\left\{ \begin{array}{ll} -2x-8\;\;\;\;\;x<-3 \\ -2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; x\geq -3 \end{array} \right. \]
Determinare il grafico di \(f(g(x))\) e \(g(f(x))\).
Grazie mille!
Gli rispondo così:
Caro Luca,
una volta accertato che, essendo entrambe le funzioni definite su tutto l’asse reale, le funzioni sono componibili in entrambi i modi possibili, consideriamo dapprima la funzione \(f(g(x))\), cioè immaginiamo \(x\) come “input” della funzione \(g\), il cui “output” \(g(x)\) è poi dato in “input” alla funzione \(f\); la questione è qui resa un po’ complicata dal fatto che sia \(g\) che \(f\) agiscono sui propri “input” in modo diverso a seconda del loro valore. Si tratta quindi di procedere a una sistematica analisi del dominio reale di questo tipo:
1) \(x<-3\): ci chiediamo allora per quali \(x<-3\) il valore di \(g(x)=-2x-8\) sia eventualmente \(\leq -4\), o compreso tra \(-4\) e \(0\), o invece \(>0\), cioè:
\[-2x-8\le -4\Rightarrow \left\{ x\ge -2 \right\}\cap \left\{ x<-3 \right\}=ø \]
\[-4<-2x-8\le 0\Rightarrow \left\{ -4\le x<-2 \right\}\cap \left\{ x<-3 \right\}=\left\{ -4\le x<-3 \right\}\]
\[-2x-8>0\Rightarrow \left\{ x<-4 \right\}\cap \left\{ x<-3 \right\}=\left\{ x<-4 \right\}\]
2) \(x\geq -3\): per ogni \(x\geq -3\) il valore di \(g(x)=-2\) è ovviamente compreso tra \(-4\) e \(0\).
Concludiamo quindi osservando che:
per \(x<-4\), essendo \(-2x-8>0\), tale espressione va inserita nel 3° input di \(f(x)\), che restituisce costantemente il valore \(2\);
per \(-4\leq x <-3\), essendo \(-4<-2x-8\leq 0\), tale espressione va inserita nel 2° input di \(f(x)\), che quindi restituisce l’espressione \(-2x-8+3=-2x-5\);
per \(x\geq -3\), essendo \(-4<-2\leq 0\), il valore \(-2\) va inserito nel 2° input di \(f(x)\), che restituisce costantemente il valore \(-2+3=1\). Pertanto:
\[f(g(x))=\left\{ \begin{array}{lll} 2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x<-4 \\ -2x-5\;\;\;\;\; -4\leq x<-3 \\ 1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; x\geq -3 \end{array} \right. .\]
Considerando ora la funzione \(g(f(x))\), osserviamo che \(f(x)\) è una funzione limitata, i cui valori sono compresi tra \(-1\) e \(3\), pertanto è in particolare sempre vero che \(f(x)\geq -3\), quindi, qualunque sia \(x\), l’inserimento di \(f(x)\) in \(g\) restituisce il valore costante \(-2\), cioè:
\[g\left( f\left( x \right) \right)=-2\quad \forall x\in \mathbb{R}\quad .\]
Massimo Bergamini