Ricevo da Alfonso la seguente domanda:
Caro professore,
le chiedo una spiegazione su questo integrale di superficie:
\[\iint\limits_{S}{\sqrt{9+\frac{7}{9}{{z}^{2}}+\frac{27}{4}{{x}^{2}}}d\sigma }\]
dove \(S\) è la superficie dell ellissoide di equazione \(\frac{{{x}^{2}}}{4}+\frac{{{y}^{2}}}{16}+\frac{{{z}^{2}}}{9}=1\).
Ho usato le coordinate polari sull’ellissoide ma mi escono calcoli assurdi. Grazie mille.
Gli rispondo così:
Caro Alfonso,
il dominio \(S\) può essere parametrizzato in questo modo:
\[\left\{ \begin{array}{lll} x=2\sin \varphi \cos \vartheta \\ y=4\sin \varphi \sin \vartheta \\ z=3\cos \varphi \end{array} \right. \]
e quindi l’elemento di superficie \(d\sigma\) risulta essere \(\left| {{{\vec{r}}}_{\varphi }}\times {{{\vec{r}}}_{\vartheta }} \right|d\varphi d\vartheta \), dove
\[{{\vec{r}}_{\varphi }}=\left( {{\partial }_{\varphi }}x,{{\partial }_{\varphi }}y,{{\partial }_{\varphi }}z \right)=\left( 2\cos \varphi \cos \vartheta ,4\cos \varphi \sin \vartheta ,-3\sin \varphi \right)\]
\[{{\vec{r}}_{\vartheta }}=\left( {{\partial }_{\vartheta }}x,{{\partial }_{\vartheta }}y,{{\partial }_{\vartheta }}z \right)=\left( -2\sin \varphi \sin \vartheta ,4\sin \varphi \cos \vartheta ,0 \right)\]
cioè
\[{{\vec{r}}_{\varphi }}\times {{\vec{r}}_{\vartheta }}=\left( 12{{\sin }^{2}}\varphi \cos \vartheta ,6{{\sin }^{2}}\varphi \sin \vartheta ,8\sin \varphi \cos \varphi \right)\]
da cui:
\[d\sigma =\sqrt{144{{\sin }^{4}}\varphi {{\cos }^{2}}\vartheta +36{{\sin }^{4}}\varphi {{\sin }^{2}}\vartheta +64{{\sin }^{2}}\varphi {{\cos }^{2}}\varphi }\;d\varphi d\vartheta =\]
\[=2\sin \varphi \sqrt{36{{\sin }^{2}}\varphi {{\cos }^{2}}\vartheta +9{{\sin }^{2}}\varphi {{\sin }^{2}}\vartheta +16{{\cos }^{2}}\varphi }\;d\varphi d\vartheta =\]
\[=2\sin \varphi \sqrt{36{{\sin }^{2}}\varphi {{\cos }^{2}}\vartheta +9\left( 1-{{\cos }^{2}}\varphi \right)\left( 1-{{\cos }^{2}}\vartheta \right)+16{{\cos }^{2}}\varphi }\;d\varphi d\vartheta =\]
\[=2\sin \varphi \sqrt{9+7{{\cos }^{2}}\varphi +27{{\sin }^{2}}\varphi {{\cos }^{2}}\vartheta }\;d\varphi d\vartheta \ .\]
La funzione integranda, calcolata sull’ellissoide, assume proprio l’espressione \(f\left( \varphi ,\vartheta \right)=\sqrt{9+7{{\cos }^{2}}\varphi +27{{\sin }^{2}}\varphi {{\cos }^{2}}\vartheta }\) , per cui l’integrale da calcolare è il seguente:
\[\int\limits_{0}^{\pi }{d}\varphi \int\limits_{0}^{2\pi }{d\vartheta \left( 18\sin \varphi +14\sin \varphi {{\cos }^{2}}\varphi +54{{\sin }^{3}}\varphi {{\cos }^{2}}\vartheta \right)}=\]
\[=\left( 18\int\limits_{0}^{\pi }{\sin \varphi d}\varphi +14\int\limits_{0}^{\pi }{\sin \varphi {{\cos }^{2}}\varphi d}\varphi \right)\cdot \int\limits_{0}^{2\pi }{d\vartheta +54\int\limits_{0}^{\pi }{{{\sin }^{3}}\varphi d}\varphi \cdot \int\limits_{0}^{2\pi }{{{\cos }^{2}}\vartheta }d\vartheta }=\]
\[=32\int\limits_{0}^{\pi }{\sin \varphi d}\varphi \cdot \int\limits_{0}^{2\pi }{d\vartheta +\int\limits_{0}^{\pi }{{{\sin }^{3}}\varphi d}\varphi \cdot \left( 54\int\limits_{0}^{2\pi }{{{\cos }^{2}}\vartheta }d\vartheta -14\int\limits_{0}^{2\pi }{d\vartheta } \right)}=\]
\[=128\pi +\frac{4}{3}\cdot \left( 54\pi -28\pi \right)=\frac{488}{3}\pi \quad .\]
Massimo Bergamini