Ricevo da Elisa la seguente domanda:
Caro professore, non ho capito questo quesito:
Sono assegnate due circonferenze \(C\) e \(C'\), esterne tra loro e rispettivamente di centri \(O\) e \(O'\) e raggi \(r\) e \(r/2\), dove \(OO'=k\). Sia \(P\) un punto di \(OO'\) non interno alle due circonferenze; traccia da \(P\) le rette tangenti a \(C\) e \(C'\). Gli archi aventi per estremi i punti di contatto ed intersecanti il segmento \(OO'\) generano in una rotazione di \(180°\) attorno ad \(OO'\) due calotte sferiche. Posto \(OP=x\) determina la posizione di \(P\) in corrispondenza della quale risulta massima la somma delle aree delle due calotte.
Grazie mille.
Le rispondo così:
Cara Elisa,
con riferimento alla figura, applicando il 1° teorema di Euclide ai triangoli rettangoli \(PDO\) e \(PFO’\), otteniamo:
\[OK:OD=OD:OP\to OK=\frac{{{r}^{2}}}{x}\to KL=OL-OK=r-\frac{{{r}^{2}}}{x}\]
\[O'N:O'F=O'F:O'P\to O'N=\frac{{{r}^{2}}}{4\left( k-x \right)}\to MN=O'M-O'N=\frac{r}{2}-\frac{{{r}^{2}}}{4\left( k-x \right)}\quad .\]
Ricordando che la superficie di una calotta sferica di altezza \(h\), appartenente ad una sfera di raggio \(r\), è \(2\pi rh\), ricaviamo la somma \(S(x)\) delle superfici delle due calotte, con \(r\leq x \leq k-r/2\):
\[S\left( x \right)=2\pi r\cdot KL+\pi r\cdot MN=\frac{5}{2}\pi {{r}^{2}}-\frac{\pi {{r}^{3}}}{4}\left( \frac{8}{x}+\frac{1}{k-x} \right)\quad .\]
Calcoliamo e poniamo uguale a zero la derivata di \(S(x)\):
\[S'\left( x \right)=\frac{\pi {{r}^{3}}}{4}\left( \frac{8}{{{x}^{2}}}-\frac{1}{{{\left( k-x \right)}^{2}}} \right)\to S'\left( x \right)=0\leftrightarrow 8{{\left( k-x \right)}^{2}}={{x}^{2}}\to x=\frac{2\left( 4-\sqrt{2} \right)}{7}k\quad .\]
Tale valore di \(x\) corrisponde a un massimo relativo di \(S(x)\), come si può dedurre dal segno di \(S’(x)\), ma occorre fare alcune considerazioni riguardo all’accettabilità di tale soluzione, dovendo essere \(r\leq x \leq k-r/2\). Essendo \(k>3r/2\) per ipotesi, si ha:
\[\frac{2\left( 4-\sqrt{2} \right)}{7}k>\frac{3\left( 4-\sqrt{2} \right)}{7}r\approx 1,108r>r\]
per cui la condizione \(x\geq r\) è soddisfatta qualunque sia \(k>3r/2\). Invece, la condizione \(x\leq k-r/2\), implica:
\[k-x>\frac{r}{2}\to \frac{\left( 2\sqrt{2}-1 \right)}{7}k>\frac{r}{2}\to k>\frac{\left( 2\sqrt{2}+1 \right)}{2}r\approx 1,914r\]
cioè, per \(\frac{3}{2}r\le k\le \frac{\left( 2\sqrt{2}+1 \right)}{2}r\) la funzione \(S(x)\) non ammette un massimo relativo “regolare” (cioè a derivata nulla) accettabile: essendo in tal caso, come si potrebbe verificare, \(S(x)\) crescente nell’intervallo di accettabilità della variabile, il massimo si realizza per \(x=k-r/2\).
Massimo Bergamini