Ricevo da Alessandro la seguente domanda:
Salve professore,
ho riscontrato alcune difficoltà nello svolgere il seguente esercizio:
Data la funzione
\[f\left( x \right)=\frac{1}{2}{{x}^{2}}-6x+5\ln x\]
determinare:
· dominio, limiti significativi, se esistono asintoti obliqui, punti massimo e minimo;
· derivata prima, crescenza e decrescenza;
· derivata seconda, concavità;
· grafico.
Grazie infinite.
Gli rispondo così:
Caro Alessandro,
la funzione è definita dove è definito il logaritmo, cioè nell’insieme \({{D}_{f}}={{\mathbb{R}}^{+}}\) dei reali strettamente positivi: in tale insieme la funzione è continua e derivabile. I limiti che ha senso considerare sono quindi:
\[\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=0-\infty =-\infty \quad \quad \quad \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=+\infty \quad .\]
La funzione non ammette asintoti obliqui, poiché \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)}{x}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{1}{2}x-6+\frac{5\ln x}{x} \right)=+\infty +0=+\infty \quad .\]
La funzioni derivata prima e derivata seconda sono le seguenti:
\[f'\left( x \right)=x-6+\frac{5}{x}=\frac{{{x}^{2}}-6x+5}{x}\quad \quad f''\left( x \right)=1-\frac{5}{{{x}^{2}}}=\frac{{{x}^{2}}-5}{{{x}^{2}}}\quad .\]
La derivata prima, nulla in \(x=1\) e in \(x=5\), è positiva negli intervalli \(\left] 0,1 \right[\) e \(\left] 5,+\infty \right[\) (funzione crescente), è negativa in \(\left] 1,5 \right[\) (funzione decrescente): il punto \((1,-11/2)\) è un massimo relativo per il grafico di \(f(x)\), mentre il punto \((5,5\ln 5 -35/2)\) è un minimo relativo. In considerazione di questo e dei limiti già visti, si conclude che la funzione si annulla una sola volta, in corrispondenza ad un valore che può essere stimato, con qualche metodo di calcolo approssimato, all’incirca pari a \(9,65\). La derivata seconda, all’interno del dominio, si annulla solamente in \(x=\sqrt{5}\), essendo dapprima negativa e poi positiva: il punto di ascissa \(\sqrt{5}\) è quindi un flesso, in corrispondenza al quale la concavità passa da “giù” a “sù”.
Massimo Bergamini