Ricevo da Marcello la seguente domanda:
Gentile professore, le sarei grato se mi aiutasse a risolvere questo problema:
Sia \(C_1\) la curva di equazione \(xy=1\), sia \(C_2\) la curva di equazione \(y=x^2\) e sia \(A\) il loro punto di intersezione.
a) Determinare le equazioni delle rette \(r\) ed \(s\) tangenti in \(A\) rispettivamente a \(C_1\) e \(C_2\).
b) Sia \(P\) un punto appartenente all'arco \(OA\) di \(C_2\), sia \(Q\) il punto di \(C_1\) avente la stessa ascissa di \(P\), siano \(B\) ed \(E\) i punti rispettivamente di \(s\) ed \(r\) aventi la stessa ascissa di \(P\); dimostrare che la distanza \(EQ\) è espressa dalla funzione \(f\left( t \right)=\frac{{{\left( t-1 \right)}^{2}}}{\left| t \right|}\), dove \(t\) è l’ascissa di \(P\).
c) Calcolare il limite cui tende il rapporto delle aree dei triangoli \(EQA\) e \(PAB\) quando \(P\) tende a coincidere con \(A\).
d) Considerare la funzione \(f\left( x \right)=\frac{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}{x}\); determinarne il dominio, il segno, gli asintoti. Determinare inoltre eventuali punti di massimo e minimo, tracciare il grafico \(\gamma\) e stabilire di che tipo di conica si tratta.
e) Sia \(H\) il punto di intersezione degli asintoti di \(\gamma\); determinare i punti di \(\gamma\) che hanno minima distanza da \(H\).
Gli rispondo così:
Caro Marcello,
ricavato \(A(1;1)\), si ottengono le rette tangenti in \(A\) alle due curve considerando le derivate delle funzioni \(y=\frac{1}{x}\) e \(y=x^2\), cioè \(y=-\frac{1}{{{x}^{2}}}\) e \(y=2x\), per \(x=1\), per cui:
\[r:\quad y=-x+2\quad \quad \quad s:\quad y=2x-1\quad .\]
Posto \(P(t;t^2)\), con \(0\leq t \leq 1\), si ha quindi \(B(t;2t-1)\), \(Q(t;1/t)\), \(E(t;-t+2)\), per cui:
\[EQ=\left| \frac{1}{t}+t-2 \right|=\frac{{{\left( t-1 \right)}^{2}}}{\left| t \right|}\quad .\]
I triangoli \(EQA\) e \(PAB\) condividono l’altezza \(AH=(1-t)\) rispetto alle basi \(EQ\) e \(PB={{(t-1)}^{2}}\), per cui le aree \({{S}_{EQA}}\) e \({{S}_{PAB}}\) sono tali che
\[\frac{{{S}_{EQA}}}{{{S}_{PAB}}}=\frac{\left( 1-t \right){{\left( t-1 \right)}^{2}}}{2\left| t \right|}\frac{2}{\left( 1-t \right){{\left( t-1 \right)}^{2}}}=\frac{1}{\left| t \right|}\Rightarrow \underset{P\to A}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{S}_{EQA}}}{{{S}_{PAB}}}=\underset{t\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{\left| t \right|}=1\quad .\]
La funzione \(f\left( x \right)=\frac{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}{x}\) ha dominio \(\mathbb{R}-\left\{ 0 \right\}\), ha lo stesso segno di \(x\), è ovunque continua e derivabile nel suo dominio e presenta i seguenti limiti agli estremi del dominio stesso:
\[\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}{x}=\pm \infty \quad \quad \underset{x\to {{0}^{\pm }}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}{x}=\pm \infty \quad .\]
Poiché \(\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)}{x}=\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-2x+1}{{{x}^{2}}}=1\) e \(\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( f\left( x \right)-x \right)=\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{-2x+1}{x}=-2\), la curva \(\gamma\), grafico di \(f(x)\), presenta l’asintoto obliquo \(y=x-2\), oltre all’asintoto verticale \(x=0\); la curva \(\gamma\) è infatti riconducibile all’iperbole “ruotata” di equazione \(x^2-xy-2x+1=0\). Le derivate prima e seconda della funzione \(f(x)\) sono:
\[f'\left( x \right)=\frac{2x\left( x-1 \right)-{{\left( x-1 \right)}^{2}}}{{{x}^{2}}}=\frac{{{x}^{2}}-1}{{{x}^{2}}}\quad \quad f''\left( x \right)=\frac{2}{{{x}^{3}}}\]
per cui si deduce che la funzione ammette un massimo e un minimo relativi nei punti di ascissa \(-1\) e \(1\) rispettivamente, e presenta concavità rivolta verso il basso per ogni \(x<0\), verso l’alto per ogni \(x>0\).
Detto \(P(x;f(x))\) un generico punto di \(\gamma\), la distanza \(d=PH\) dal punto \(H(0;-2)\) in funzione di \(x\) è data da:
\[d\left( x \right)=\sqrt{\frac{2{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}+1}{{{x}^{2}}}}\]
per cui, derivando:
\[d'\left( x \right)=\frac{\left| x \right|\left( 2{{x}^{4}}-1 \right)}{x\sqrt{2{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}+1}}\to d'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=\pm \frac{1}{\sqrt[4]{2}}=\pm \frac{\sqrt[4]{8}}{2}\approx \pm 0.84\quad .\]
Come si può verificare analizzando il segno di \(d’(x)\), i valori di \(x\) suddetti rappresentano entrambi dei minimi relativi per \(d(x)\); i punti corrispondenti non sono altro che i vertici \(V_1\) e \(V_2\) dell’iperbole \(\gamma\).
Massimo Bergamini