Elisa mi sottopone il seguente problema:
In un sistema di asssi cartesiani ortogonali è assegnata la famiglia di linee di equazione \(ax^2+(1-3a)x-y-3=0\). Si individuino in tale famiglia la retta \(r\) e le due parabole \(C_1\) e \(C_2\) che con la stessa retta formano ciascuna una regione finita di piano avente area \(9/2\). Si dimostri che le due parabole ottenute sono congruenti. Si scriva inoltre l’equazione della retta parallela all’asse delle ordinate tale che le tangenti a \(C_1\) e a \(C_2\) nei punti di intersezione di essa con le stesse parabole siano parallele. Leggi tutto »

Ricevo da Luigi la seguente domanda:
Vorrei sapere come si calcolano i seguenti limiti:
\[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \sqrt[3]{{{x}^{2}}}-\sqrt{x} \right)\]
\[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{\sqrt[3]{{{x}^{3}}+x}-\sqrt{{{x}^{3}}-x}}{x} \right)\quad .\]
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Ricevo da Elisa la seguente domanda:
In un piano cartesiano ortogonale si considerino la circonferenza di centro nell’origine degli assi e raggio \(r\) e le parabole aventi per asse di simmetria l’asse delle ordinate e tangenti alla stessa circonferenza ciascuna in due punti la cui retta congiungente abbia distanza dal centro uguale alla metà del raggio. Si calcoli l’area della regione finita di piano delimitata dalla circonferenza e da una delle due parabole ottenute. Leggi tutto »