Ricevo da Elisa la seguente domanda:
Caro professore,
la prego di aiutarmi a risolvere questo quesito:
Determinare l’ampiezza \(x\) di ciascun angolo alla base di un trapezio isoscele circoscritto a un semicerchio di raggio \(r\) sapendo che il volume generato dal trapezio in una rotazione completa intorno alla base maggiore sta nel rapporto \(k\) con il volume della sfera generata dal semicerchio.
Grazie mille.
Le rispondo così:
Cara Elisa,
con riferimento alla figura, posto che \(0< x\leq \pi/2\), si ha:
\[EB=HB=\frac{r}{\tan x}\quad OB=\frac{r}{\sin x}\quad FE=2\left( OB-EB \right)=\frac{2r\left( 1-\cos x \right)}{\sin x}\]
da cui si ricava il volume \(V_1\) del solido di rotazione, come somma di due coni e un cilindro:
\[{{V}_{1}}=\frac{2\pi }{3}C{{E}^{2}}\cdot EB+\pi C{{E}^{2}}\cdot FE=\frac{2\pi {{r}^{3}}\left( 3-2\cos x \right)}{\sin x}\quad .\]
Posto \({{V}_{2}}=\frac{4}{3}\pi {{r}^{3}}\) il volume della sfera, si ha:
\[\frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{3\left( 3-2\cos x \right)}{2\sin x}=k\to 6\cos x+2k\sin x-9=0\quad .\]
Poniamo \(\cos x=X\) e \(\sin x=Y\), ottenendo un’equazione lineare che rappresenta un fascio proprio di rette di equazione \(6X+2kY-9=0\), da porre a confronto con l’arco di circonferenza goniometrica \(X^2+Y^2=1\) di estremi \(A(1;0)\) (escluso) e \(B(0;1)\) (incluso). Il fascio di rette ha generatrici \(X=3/2\) (\(k = 0\)) e \(Y=0\) (\(k=\infty\)), pertanto il centro del fascio è nel punto \(C(3/2;0)\). La retta passante per \(B\), secante l’arco \(AB\), corrisponde a \(k=9/2\), dal che si deduce che il fascio “ruota” in senso antiorario. La retta del fascio tangente all’arco si ottiene imponendo che la distanza della retta dall’origine sia pari a \(1\), da cui \(9=\sqrt{36+4{{k}^{2}}}\), da cui \(k=\frac{3\sqrt{5}}{2}\). Si conclude che il problema ammette due soluzioni, eventualmente coincidenti, per \(\frac{3\sqrt{5}}{2}\le k\le \frac{9}{2}\), ne ammette una sola per \(k>\frac{9}{2}\).
Massimo Bergamini