Ricevo da Elisa la seguente domanda:
Caro professore,
potrebbe spiegarmi questi quesiti?
1) Circoscrivere alla sfera di centro \(O\) e raggio \(r\) una piramide a base quadrata e vertice \(V\). Determinare la distanza \(VO=x\) affinchè la piramide abbia volume minimo.
2) Tra tutti segmenti sferici a una base limitati da una calotta di superficie costante \(\pi a^2\) qual è quello di volume massimo?
3) Tra tutti i solidi di superficie totale \(S\) formati da un cilindro al quale è sovrapposto un cono equilatero con la base coincidente con una base del cilindro, determinare quello avente volume massimo.
Grazie mille.
Le rispondo così:
Cara Elisa,
nel primo caso osserviamo, con riferimento alla figura, che i triangoli rettangoli \(EHV\) e \(OKV\) sono simili, per cui:
\[OK:KV=HE=HV\Rightarrow r:\sqrt{{{x}^{2}}-{{r}^{2}}}=HE:\left( x+r \right)\Rightarrow HE=\frac{r\left( x+r \right)}{\sqrt{{{x}^{2}}-{{r}^{2}}}}\quad .\]
Pertanto, si ricava il volume \(V(x)\) della piramide, con \(x>0\), e la conseguente derivata:
\[V\left( x \right)=\frac{4{{r}^{2}}{{\left( x+r \right)}^{3}}}{3\left( {{x}^{2}}-{{r}^{2}} \right)}\to V'\left( x \right)=\frac{4{{r}^{2}}{{\left( x+r \right)}^{2}}\left( {{x}^{2}}-2rx-3{{r}^{2}} \right)}{3{{\left( {{x}^{2}}-{{r}^{2}} \right)}^{2}}}=\frac{4{{r}^{2}}{{\left( x+r \right)}^{3}}\left( x-3r \right)}{3{{\left( {{x}^{2}}-{{r}^{2}} \right)}^{2}}}\]
da cui si deduce che il valore di minimo si ha per \(x=3r\).
Nel secondo quesito, ricordando che il volume di un segmento sferico ad una base appartenente ad una sfera di raggio \(r\) e avente altezza \(h\) è \(V=\pi h^2(r-h/3)\), mentre la superficie della calotta corrispondente è \(S=2\pi rh\), si ha, con \(0<h<a\):
\[2\pi rh=\pi {{a}^{2}}\Rightarrow r=\frac{{{a}^{2}}}{2h}\Rightarrow V\left( h \right)=\pi {{h}^{2}}\left( \frac{{{a}^{2}}}{2h}-\frac{h}{3} \right)=\frac{\pi {{a}^{2}}}{2}h-\frac{\pi }{3}{{h}^{3}}\]
per cui:
\[V'\left( h \right)=\frac{\pi {{a}^{2}}}{2}-\pi {{h}^{2}}\Rightarrow V'\left( h \right)=0\Leftrightarrow h=\frac{a\sqrt{2}}{2}\Rightarrow r=\frac{a\sqrt{2}}{2}=h\]
valore che, come si deduce dal segno della derivata, corrisponde al massimo cercato, e geometricamente corrisponde ad una calotta semisferica.
Nell’ultimo quesito, posto \(OA=x\) il raggio di base del cilindro, e detta \(h\) la sua altezza, la superficie totale \(S(x)\) del solido risulta:
\[S\left( x \right)=\pi {{x}^{2}}+2\pi xh+2\pi {{x}^{2}}=3\pi {{x}^{2}}+2\pi xh\]
da cui si ricava \(h\) in funzione di \(x\), e di conseguenza il volume \(V(x)\):
\[3\pi {{x}^{2}}+2\pi xh=S\Rightarrow h=\frac{S-3\pi {{x}^{2}}}{2\pi x}\Rightarrow V\left( x \right)=\frac{\pi {{x}^{2}}\left( S-3\pi {{x}^{2}} \right)}{2\pi x}+\frac{\pi {{x}^{3}}\sqrt{3}}{3}=\frac{S}{2}x-\frac{\pi \left( 9-2\sqrt{3} \right)}{6}{{x}^{3}}\]
da cui, derivando:
\[V'\left( x \right)=\frac{S}{2}-\frac{\pi \left( 9-2\sqrt{3} \right)}{2}{{x}^{2}}\Rightarrow V'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=\sqrt{\frac{S\left( 9+2\sqrt{3} \right)}{69\pi }}\]
corrispondente al massimo cercato.
Massimo Bergamini