Ricevo da Raffaele la seguente domanda:
Carissimo Professore,
mi potrebbe aiutare a risolvere i seguenti esercizi (nn 98 e 99 pag. V123 Manuale Blu di Matematica)? Mi sono perso con le disequazioni.
Trova gli intervalli in cui le seguenti funzioni sono crescenti e quelli in cui sono decrescenti:
1) \(y={{e}^{-3x}}\ln \left( x+1 \right)\)
2) \(y=\left( x-3 \right)\ln \left( x-1 \right)\)
La ringrazio tanto.
Gli rispondo così:
Caro Raffaele,
nel primo caso la funzione è definita per \(x>-1\) e la sua derivata è
\[y'=\frac{{{e}^{-3x}}\left( 1-3\left( x+1 \right)\ln \left( x+1 \right) \right)}{x+1}\quad .\]
Poiché \(\frac{{{e}^{-3x}}}{x+1}\) è positivo nel dominio della funzione, si tratta di studiare il segno dell’espressione \(f\left( x \right)=\left( 1-3\left( x+1 \right)\ln \left( x+1 \right) \right)\), la cui derivata, \(f'\left( x \right)=-3\left( 1+\ln \left( x+1 \right) \right)\), è a sua volta una funzione monotona decrescente (la sua derivata è sempre negativa per \(x>-1\)) che si annulla per \(x={{e}^{-1}}-1\approx -0,63\), cioè \(f'\left( x \right)>0\) per \(-1<x<-0,63\), \(f'\left( x \right)<0\) per \(x>-0,63\). Poiché \(\underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=1\), \(f\left( x \right)\) è positiva e crescente per \(-1<x<-0,63\), decrescente per \(x>-0,63\): essendo \(f\left( 0 \right)=1\) e \(f\left( 1 \right)=1-6\ln 2\approx -3,15\), si conclude che \(f\left( x \right)\), e quindi la derivata della funzione iniziale, si annulla per un valore \(x_0\) compreso tra \(0\) e \(1\), essendo positiva per \(-1<x<x_0\) (funzione crescente), negativa per \(x>x_0\) (funzione decrescente); si può ricavare approssimativamente \({{x}_{0}}\approx 0,29\).
Nel secondo caso, analogamente, la funzione risulta definita per \(x>1\), e la sua derivata è:
\[y'=\frac{\left( x-1 \right)\ln \left( x-1 \right)+x-3}{x-1}\quad .\]
Si tratta quindi in questo caso di studiare il segno dell’espressione \(f\left( x \right)=\left( x-1 \right)\ln \left( x-1 \right)+x-3\): poiché \(f'\left( x \right)=\ln \left( x-1 \right)+2\) è funzione monotona crescente che si annulla per \(x=1+{{e}^{-2}}\approx 1,13\), e poiché \(\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=-2\), si deduce che \(f\left( x \right)\) è negativa e decrescente per \(1<x<1,13\), crescente per \(x>1,13\). Essendo \(f\left( 2 \right)=-1\) e \(f\left( 3 \right)=2\ln 2-1\approx 0,39\), si conclude che \(f\left( x \right)\), e quindi la derivata della funzione iniziale, si annulla per un valore \(x_0\) compreso tra \(2\) e \(3\), essendo negativa per \(1<x<x_0\) (funzione decrescente), positiva per \(x>x_0\) (funzione crescente); si può ricavare approssimativamente \({{x}_{0}}\approx 2,45\).
Massimo Bergamini