Ricevo da Elisa la seguente domanda:
Caro professore,
la prego mi aiuti a risolvere questo quesito:
Determinare per quali valori di \(b\) la funzione \(y=x^3-x^2+b\) ammette almeno uno zero all’interno dell intervallo \(I=[-1,2]\). Posto \(b=0\), studiare il campo di derivabilità della funzione \(g=|y|\). È applicabile alla \(g\) il teorema di Rolle nell’intervallo \([-1,1/2]\)?
Grazie mille.
Le rispondo così:
Cara Elisa,
poiché la funzione \(y=x^3-x^2+b\) è definita e continua in tutto \(\mathbb{R}\) per qualunque valore di \(b\), e in particolare è continua nell’intervallo chiuso e limitato \(I=[-1,2]\), per un noto teorema, l’esistenza di almeno uno zero della funzione che sia compreso in tale intervallo è garantita dal fatto che la funzione assuma valori di segno opposto negli estremi dell’intervallo stesso, cioè in altri termini che sia
\[y\left( -1 \right)\cdot y\left( 2 \right)<0\to \left( b-2 \right)\left( b+4 \right)<0\to -4<b<2\quad .\]
Posto \(b=0\), la funzione \(g(x)=|x^3-x^2|=x^2|x-1|\) risulta equivalente alla seguente:
\[\left\{ \begin{array}{ll} -x^3+x^2\;\;\;\;\;x<1 \\ x^3-x^2\;\;\;\;\;x\geq 1 \end{array} \right. \quad .\]
La funzione è definita e continua in tutto \(\mathbb{R}\), ed è derivabile per ogni \(x\) reale ad eccezione di \(x=1\), dove infatti i limiti destro e sinistro del rapporto incrementale forniscono valori diversi:
\[\underset{h\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{\left( 1+h \right)}^{2}}h}{h}=1\quad \quad \underset{h\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{-{{\left( 1+h \right)}^{2}}h}{h}=-1\quad .\]
Più semplicemente, sfruttando in senso negativo il criterio sufficiente di derivabilità che viene fornito dal teorema di de L’Hopital, si può dire che la funzione \(g(x)\) non è derivabile in \(x=1\) perché, essendo derivabile per ogni \(x\neq 1\) ed essendo \(g’(x)=-3x^2+2x\) per \(x<1\) e \(g’(x)=3x^2-2x\) per \(x>1\), poiché i limiti per \(x\) tendente a \(1\) delle due espressioni esistono ma sono diversi, e poiché tali limiti coincidono con i limiti destro e sinistro del rapporto incrementale, allora la funzione non è derivabile nel punto.
Riguardo all’applicabilità del teorema di Rolle alla funzione \(g(x)\) nell’intervallo \([-1,1/2]\), essendo \(g(-1)=2\neq g(1/2)=3/8\), viene a cadere una delle ipotesi del teorema, che quindi non è applicabile; ciò non toglie che la funzione possa avere derivata nulla in punti interni all’intervallo, e facilmente si ricava che questo si verifica per \(x=0\) (l’altro valore in cui \(g’(x)=0\), cioè \(x=2/3\), è esterno all’intervallo).
Massimo Bergamini