Ricevo da Andrea la seguente domanda:
Caro professore,
data la semicirconferenza di diametro \(AB=2r\), sia \(AD\) una corda che forma con \(AB\) un angolo \(\alpha\) tale che la sua tangente sia pari ad \(1/2\). Detto \(P\) un punto dell'arco \(AD\), condurre per esso la perpendicolare al diametro \(AB\) che incontri in \(Q\) la corda \(AD\) ed in \(H\) il diametro \(AB\), in modo che risulti: \(QH+PH=kr\).
Gli rispondo così:
Caro Andrea,
posto uguale a \(x\) l’angolo \(D\hat{A}P\), con \(0\leq x \leq \pi/2 – \alpha\), si ricava che:
\[AP=2r\cos \left( x+\alpha \right)\quad PH=2r\cos \left( x+\alpha \right)\sin \left( x+\alpha \right)\quad AH=2r{{\cos }^{2}}\left( x+\alpha \right)\]
e poiché \(AH:QH=AK:DK=2\), si ha \(QH=r{{\cos }^{2}}\left( x+\alpha \right)\). Quindi l’equazione richiesta può essere scritta nel modo seguente:
\[\cos \left( 2x+2\alpha \right)+2\sin \left( 2x+2\alpha \right)+1-2k=0,\quad 2\alpha \le 2x+2\alpha \le \pi \quad .\]
Posto \(\cos \left( 2x+2\alpha \right)=X\) e \(\sin \left( 2x+2\alpha \right)=Y\), l’equazione equivale al problema geometrico-analitico di classificare le intersezioni del fascio di rette \(X+2Y+1-2k=0\) con l’arco della circonferenza \(X^2+Y^2=1\) compreso tra gli estremi \(A(-1;0)\) e \(B(\cos 2\alpha;\sin 2\alpha)\), cioè:
\[\cos 2a=\frac{1-{{\tan }^{2}}\alpha }{1+{{\tan }^{2}}\alpha }=\frac{3}{5}\quad \sin 2a=\frac{2\tan \alpha }{1+{{\tan }^{2}}\alpha }=\frac{4}{5}\to B\left( \frac{3}{5};\frac{4}{5} \right)\quad .\]
Con riferimento alla figura, si ricava che la retta del fascio incontra gli estremi \(A\) e \(B\) per \(k=0\) e \(k=8/5\) rispettivamente, mentre è tangente in \(T\) all’arco \(AB\) per \(k=\left( 1+\sqrt{5} \right)/2\), come si può ricavare imponendo che la retta del fascio disti \(1\) dall’origine, ottenendo la condizione \(\left| 1-2k \right|=\sqrt{5}\), e scegliendo il valore positivo di \(k\), in coerenza con il senso di “traslazione” della retta del fascio al crescere di \(k\). Si conclude quindi che il problema originale ammette una soluzione per ogni valore di \(k\) compreso tra \(0\) e \(8/5\), due soluzioni per \(k\) compreso tra \(8/5\) e \(\left( 1+\sqrt{5} \right)/2\), coincidenti nel caso tangente.
Massimo Bergamini