Ricevo da Elisa la seguente domanda:
Caro professore,
la prego mi aiuti a risolvere questi quesiti:
1) Le dimensioni di un rettangolo sono \(a\) e \(b\). A partire da ogni vertice e nello stesso senso si prenda sopra ogni lato un segmento \(x\) in modo che congiungendo i quattro punti cosi ottenuti si abbia un parallelogrammo di area minima.
2) Fra tutti i parallelepipedi a base quadrata inscritti in una sfera di raggio \(r\) qual è quello di volume massimo?
2) Fra tutti i parallelepipedi a base quadrata inscritti in una sfera di raggio \(r\) qual è quello di volume massimo?
3) Si divida un filo di ferro di lunghezza \(l\) in due parti e si costruisca con la prima parte una circonferenza con la seconda un quadrato. Mostrare che la somma delle aree di queste due figure è minima quando le due parti del filo sono nel rapporto \(\pi/4\).
Grazie mille.
Le rispondo così:
Cara Elisa,
nel primo caso, posto \(AD=BC=a\) il minore dei due lati, sia \(x=DE=AF=BG=CH\), con \(0\leq x\leq a\); l’area \(S(x)\) di \(EFGH\) si ricava per differenza, sottraendo l’area dei quattro triangoli rettangoli a quella del rettangolo \(ABCD\):
\[S\left( x \right)=ab-x\left( b-x \right)-x\left( a-x \right)=2{{x}^{2}}-\left( a+b \right)x+ab\]
per cui, derivando, si ottiene \(S'\left( x \right)=4x-\left( a+b \right)\), e quindi il minimo si ha per \(x=\left( a+b \right)/4\).
Nel secondo quesito, detta \(x=OM\) la distanza tra il centro della sfera e il quadrato di base, si ricava con Pitagora la semidiagonale di base \(MB=\sqrt{{{r}^{2}}-{{x}^{2}}}\), da cui il lato di base \(AB=\sqrt{2\left( {{r}^{2}}-{{x}^{2}} \right)}\); il volume \(V(x)\) del parallelepipedo e la relativa derivata risultano:
\[V\left( x \right)=4x\left( {{r}^{2}}-{{x}^{2}} \right)\to V'\left( x \right)=4{{r}^{2}}-12{{x}^{2}}=0\Leftrightarrow x=\frac{\sqrt{3}}{3}r\]
dove il valore di annullamento della derivata risulta accettabile e corrispondente al massimo cercato.
Infine, il terzo quesito si imposta semplicemente osservando che, detta \(x\) la parte di filo che forma una circonferenza di raggio \(r=x/(2\pi)\), il quadrato ha lato \((l-x)/4\), pertanto la somma \(S(x)\) delle loro aree e la relativa derivata risultano:
\[S\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}}{4\pi }+\frac{{{\left( l-x \right)}^{2}}}{16}\to S'\left( x \right)=\frac{x}{2\pi }-\frac{l-x}{8}=0\Leftrightarrow x=\frac{\pi l}{4+\pi }\]
e quindi, come volevasi dimostrare:
\[l-x=\frac{4l}{4+\pi }\to \frac{x}{l-x}=\frac{\pi }{4}\quad .\]
Massimo Bergamini