Ricevo da Alessandro la seguente domanda:

Caro professore,

mi servirebbe un aiuto nel risolvere i seguenti integrali indefiniti:

                         \[\int{\sin x\ln \left( 1+\cos x \right)dx\quad }\quad \int{\frac{x}{\sqrt{1-x}}dx\quad }.\]

La ringrazio in anticipo.

Gli rispondo così:

Caro Alessandro,

il primo integrale si può calcolare per parti, e utilizzando la sostituzione \(t=\cos x\to dt=-\sin xdx\):

\[\int{\sin x\ln \left( 1+\cos x \right)dx=-\cos x}\ln \left( 1+\cos x \right)-\left( -\int{\cos x\frac{-\sin x}{1+\cos x}dx} \right)=\]

\[=-\cos x\ln \left( 1+\cos x \right)+\int{\frac{t}{1+t}dt}=-\cos x\ln \left( 1+\cos x \right)+\int{\frac{1+t}{1+t}dt}-\int{\frac{1}{1+t}dt}=\]

\[=-\cos x\ln \left( 1+\cos x \right)+t-\ln t+c=\cos x-\left( 1+\cos x \right)\ln \left( 1+\cos x \right)+c\quad .\]

Nel secondo integrale, la sostituzione utile è \(t=\sqrt{1-x}\to x=1-{{t}^{2}}\to dx=-2tdt\), per cui:

\[\int{\frac{x}{\sqrt{1-x}}dx=}\int{\frac{\left( 1-{{t}^{2}} \right)t}{t}dt}=t-\frac{1}{3}{{t}^{3}}+c=\sqrt{1-x}-\frac{1}{3}\sqrt{{{\left( 1-x \right)}^{3}}}+c=-\frac{2}{3}\left( x+2 \right)\sqrt{\left( 1-x \right)}+c\quad .\]

Massimo Bergamini