Ricevo da Federica la seguente domanda:
Buongiorno,
ho un'equazione goniometrica parametrica che non riesco a risolvere e mi chiedevo se lei potesse aiutarmi. L'equazione è la seguente:
\[k{{\sin }^{2}}x-4{{\cos }^{2}}x+2\left( k+1 \right)\cos x=0\]
con \(-60^\circ <x<120^\circ \).
Grazie mille.
Le rispondo così:
Cara Federica,
innanzitutto poniamo \(X=\cos x\), e facciamo la seguente importante considerazione: l’insieme dei valori assunti da \(X=\cos x\) al variare di \(x\) nell’intervallo \(-60^\circ <x<120^\circ \), cioè l’intervallo \(-1/2<X\leq 1\), va diviso in due sottointervalli: per \(-1/2<X\leq 1/2\) ad ogni valore di \(X\) (coseno) corrisponde uno e un solo valore di \(x\) (angolo), mentre per \(1/2<X\leq 1\) ad ogni valore di \(X\) (coseno) corrispondono due valori di \(x\) (angolo), eventualmente coincidenti (nel caso \(X=1\)). Quanto detto può essere facilmente dedotto da una rappresentazione grafica della circonferenza goniometrica.
Posto ora \(Y=X^2\), l’equazione risulta equivalente al seguente sistema:
\[\left\{ \begin{array}{lll} (k+4)Y-2(k+1)X-k=0 \\ X^2+Y^2=0 \\ -1/2<X\leq 1 \end{array} \right.\]
cioè il problema è ricondotto alla determinazione, al variare di \(k\), del numero di intersezioni dell’arco della parabola \(Y=X^2\) di estremi \(A(-1/2;1/4)\), \(B(1;1)\) e del fascio di rette proprio di centro \(P(-2/3;-1/3)\), tenendo conto però del fatto che le intersezioni che cadono nel sotto-arco \(AC\), essendo \(C(1/2;1/4)\), “contano” come una sola soluzione (essendo la loro ascissa \(X\) compresa tra -1/2 e 1/2), mentre quelle che cadono nel sotto-arco \(CB\), “contano” come due soluzioni (essendo la loro ascissa \(X\) compresa tra 1/2 e 1).
Analizzando il fascio, il cui senso di rotazione è anti-orario, ricavando in particolare i valori di \(k\) che danno le rette passanti per \(A\), \(B\) e \(C\), e la retta tangente in \(T\), si ottiene il seguente quadro:
per \(k<-8\) e per \(k>1\) si ha una sola soluzione;
per \(0< k \leq 1\) si hanno tre soluzioni (per \(k=1\) una soluzione, cioè \(X=1\), è “doppia”);
per \(-\frac{3-\sqrt{7}}{2}\le k\leq 0\) si hanno due soluzioni (per \(k=-\frac{3-\sqrt{7}}{2}\) la soluzione è “doppia”).
Massimo Bergamini